15、模糊积分在模式识别与图像处理中的应用及训练方法

模糊积分在模式识别与图像处理中的应用及训练方法

1. 滤波器与模糊积分基础

在图像处理中，滤波器起着重要作用。当满足特定条件时，滤波器为中值滤波器。从公式 9.10 可以容易看出这一点，因为公式 9.9 中的 δ 仅在索引的一个值处不为零，这个索引用于“提取”输入值的中值。实际上，在上述定义中，将 k 替换为 1 到 2k + 1 之间的任何 i，可得到第 i 阶统计量（包括 i = 1 时的最大值和 i = 2k + 1 时的最小值）。

设 $W_x$ 为点 x 的邻域，Choquet 积分滤波器可表示为有序统计量的线性组合（LOS）滤波器，其定义为：
[LOS_{W_x}(h)(x) = \sum_{x_k \in W_x} w_k h(x^{(k)})]
其中，权重 ${w_1, \cdots, w_n}$ 满足 $w_i \in [0,1]$ 且 $\sum_{k = 1}^{n} w_k = 1$，函数值按降序排列。通过定义测度 g，该算子可视为模糊积分算子，具体如下：
[g(A) =
\begin{cases}
0, & \text{if } A = \varnothing \
\sum_{j = 1}^{i} w_j, & \text{if } |A| = i
\end{cases}]

这些滤波器也被 Grabisch 称为广义顺序滤波器，可用于实现鲁棒估计器，如 α - 修剪均值。如果权重具有语言解释，如“至少两个邻居是明亮的”或“许多邻居具有高纹理”，则这些滤波器也可称为有序加权平均（OWA）滤波器。关键在于，通过改变定义积分的测度，同一算子可以对多种线性和非线性滤波器进行建模