50、集合、基数与关系逻辑的复杂性与可判定性

集合、基数与关系逻辑的复杂性与可判定性

1. QFBAPA - Rel的复杂性

QFBAPA - Rel可归约为QFBAPA，此归约通过为原公式中每个函数和关系的集合变量引入文氏图区域的集合变量，生成单指数大小的公式。由于QFBAPA是NP完全的，所以QFBAPA - Rel属于NEXPTIME。

定理3 ：QFBAPA - Rel是NEXPTIME完全的，即使没有关系符号且只有一个一元函数符号。
- 证明思路 ：先通过算法确定NEXPTIME上界，再证明匹配的下界。将一阶逻辑的一个片段归约到带常量和二元函数的塔斯基集合约束，从而证明NEXPTIME下界。具体做法是构造一个与原公式等可满足的QFBAPA - Rel公式，分为以下三种情况编码：
1. 对常量符号a的一元公式（由∃z.F1得到）：将所有此类公式的合取转换为集合约束。把每个一元谓词P的P(a)替换为P，∨替换为∪，¬替换为补集符号，∧替换为∩，得到集合代数表达式S，生成QFBAPA - Rel公式S ≠ ∅。
2. 形式为∀x.P1(x) ∨ P2(x) ∨ … ∨ Pm(x) ∨ Q1(f(x)) ∨ Q2(f(x)) ∨ … ∨ Qn(f(x))的子句：生成约束f (P1补集 ∩ P2补集 ∩ … ∩ Pm补集) ⊆ Q1 ∪ Q2 ∪ … ∪ Qn。
3. 形式为∀y1∀y2. P1(y1) ∨ P2(y1) ∨ … ∨ Pm(y1) ∨ Q1(y2) ∨ Q2(y2) ∨ … ∨ Qn(y2)的子句：生成QFBAPA - Rel公式(P1 ∪ P2 ∪ … ∪ Pm = U) ∨ (Q1 ∪ Q2 ∪ … ∪ Qn