48、最佳概率变换器：并发程序的抽象细化方法

最佳概率变换器：并发程序的抽象细化方法

1. 概率界限与最佳变换器

在概率分析中，有两个重要的不等式用于界定概率：
- $\gamma( \inf_{\sigma_1,\sigma_2} p_{\sigma_1,\sigma_2}(F^{\sharp})) \leq p^-(F) \leq \gamma(\sup_{\sigma_1} \inf_{\sigma_2} p_{\sigma_1,\sigma_2}(F^{\sharp}))$
- $\gamma(\inf_{\sigma_1} \sup_{\sigma_2} p_{\sigma_1,\sigma_2}(F^{\sharp})) \leq p^+(F) \leq \gamma( \sup_{\sigma_1,\sigma_2} p_{\sigma_1,\sigma_2}(F^{\sharp}))$

这两个不等式所确定的概率界限是最优的，即任何有效的抽象都无法得到更精确的界限。虽然可以通过基于游戏的抽象来计算最佳变换器，但这种方法的计算成本比映射到马尔可夫决策过程（MDP）的抽象方法要高。

2. 并发概率程序

我们考虑一种对流行的 PRISM 语言的扩展，它额外支持整数和实数变量。一个并发概率程序 $P = (X, I, C)$ 由以下部分组成：
- 初始条件 $I \in BExpr_X$，表示程序开始时变量的状态。
- 命令集 $C$，每个命令 $c$ 包含一个唯一的动作 $a$、一个布尔表达式形式的保护条件 $g \in BExpr_X$ 以及一系列加权概率的赋值 $E_{u_1}, \cdots, E_{u_k}$，且 $\sum_{i = 1}^{k