38、数组排列分析：基于流和线性代数的解决方案

数组排列分析：基于流和线性代数的解决方案

1. 基于流的上界求解

在处理索引和原子方程系统时，相应的格会提供最小上界运算符。但对于多重集方程，我们需要自行定义统一两个多重集方程的方法，每个多重集方程都与一个原子方程系统相关联。

例如，我们要统一多重集方程 $\hat{A} \ominus M = \varnothing$（已知 $(v = A[i] = A[j])$）和 $\hat{A} \ominus M = A[j] \ominus v$（已知 $(A[i] = A[j])$）。形式上，给定两个多重集表达式 $E_1$ 和 $E_2$，以及它们所涉及原子的两个等价关系 $\equiv_1$ 和 $\equiv_2$，我们希望将每个 $E_i$ 重写为一个共同的多重集表达式 $E$，使得 $E_i \equiv_i E$（$i = 1, 2$）。

1.1 原子重写

当一个原子 $a$ 仅出现在 $E_1$ 中时，我们可以通过向 $E_2$ 中添加 $a \ominus b$（其中 $a \equiv_2 b$）将其引入 $E_2$。这个重写过程可能会导致需要将 $b$ 引入 $E_1$，以此类推。寻找原子的共同重写过程可以看作是在图中旅行。

我们将 $\equiv_1$ 和 $\equiv_2$ 的等价类视为顶点，如果 $x \in V \cap V’$，则用标记为 $x$ 的边连接两个顶点 $V$ 和 $V’$。得到的图显然是二分图，每条边连接 $\equiv_1$ 和 $\equiv_2$ 的类。

例如，要统一 $E_1 = a$ 和 $E_2 = e$，已知 $(b \equiv_1 c \equiv_1 d)$ 和 $