37、数组排列分析

数组排列分析

在程序设计中，对数据结构属性的分析一直是一个具有挑战性的目标。尽管已经进行了广泛的研究，但在分析的效率、精度以及可处理的属性类别方面，仍有很大的改进空间。本文聚焦于程序中数组不变式的合成，特别是与数组内容排列相关的属性。

1. 数据结构属性分类

数据结构属性大致可分为以下三类：
- 结构属性 ：这类属性关注数据结构的形状以及访问的正确性，与内容无关。例如数组边界检查和形状分析就属于这一类。
- 位置属性 ：用于分析数据结构内容的位置属性，即单元格的值与其在结构中位置的关系。比如两个数组逐点相等或列表已排序等情况。
- 非位置属性 ：本文主要探讨的是非位置属性，它关注数据结构的整体内容，而不考虑结构本身。典型的例子是一个数组是另一个数组的排列。

2. 分析方法概述

为了分析数组内容排列相关的属性，本文定义了一种基于值的多重集的抽象解释方法，该方法能够发现关于这些多重集的不变式方程。

3. 基本定义和符号

• 多重集 ：数组的内容可视为值的多重集，多重集可形式化为从值集 $X$ 到自然数集 $N$ 的函数。若 $M$ 是多重集，$M(x)$ 表示值 $x$ 在 $M$ 中的实例数量。
• 运算 ：使用广义的多重集概念，包括正或负的重数。定义了多重集的和（$\oplus$）、差（$\ominus$）运算，以及 $k$ 个实例的和（$k \otimes M$）。