36、高阶程序环境等价性分析：从控制流到形状分析

高阶程序环境等价性分析：从控制流到形状分析

1. 抽象与具体状态空间

抽象状态空间（图 1 中的 ˆΣ）与具体状态空间的结构平行。在这些域中，我们采用自然偏序，例如 ve ⊔ ve′ = λˆb. ve(ˆb) ∪ ve′(ˆb)。

绑定环境（BEnv）作为机器状态和闭包的组成部分，是环境问题所涉及的环境。在语义中，绑定环境将变量映射到绑定。绑定 b 是为每个接收值的变量实例创建的纪念令牌，例如在 k - CFA 中，绑定是变量名与绑定时间戳的配对。值环境 ve 跟踪与每个绑定关联的可表示值（D），可表示值 d 是一个闭包。

在控制流分析（CFAs）中，绑定作为环境的原子组件，扮演着指针分析中地址的角色。我们的最终目标是推断抽象绑定背后具体值之间的关系。例如，我们希望能够证明在某些时间集上变量 v 的绑定，在值环境下，与在其他时间集上变量 x 的绑定相等。在纯 λ - 演算中，绑定之间唯一明显的关系是相等和不相等。

在 CFA 理论中，时间戳也被称为不太直观的轮廓。具体和抽象状态空间都未定义时间戳和绑定的精确结构。绑定的选择决定了分析的多态性。时间戳以某种方式编码执行历史，因此在抽象下，其结构决定了上下文敏感性中的上下文。

具体和抽象状态空间通过参数化的二阶抽象映射 αη : Σ → ˆΣ 相连，其中参数 η : (Addr → Addr) ∪ (Time → Time) 对绑定和时间进行抽象：

αη(call, β, ve, t) = (αη(V ), αη(β), αη(ve), η(t))
αηBEnv(β) = λv.η(β(v))
αηVEnv