28、同余自动抽象：原理、方法与应用

同余自动抽象：原理、方法与应用

1 引言

在程序分析领域，如何有效地推导程序不变式是一个关键问题。同余自动抽象为解决这一问题提供了一种有效的途径。它通过将程序的具体语义抽象为同余关系，从而能够在不同的抽象层次上分析程序的行为。本文将详细介绍同余自动抽象的相关概念、方法和应用，并通过具体的例子展示其在程序分析中的有效性。

2 基本语义定义

2.1 表达式和谓词语义

首先，定义了表达式 (E) 和谓词 (G) 的语义：
- (E[[x_i]]a = a[i])
- (E[[n]]a = n)
- (E[[−e]]a = r \in R)，其中 (r \equiv 2^w −(E[[e]]a))
- (E[[e_1 \odot e_2]]a = (E[[e_1]]a) \odot (E[[e_2]]a))，其中 (\odot \in bop)
- (G[[true]]a = 1)
- (G[[false]]a = 0)
- (G[[e_1 \otimes e_2]]a = (E[[e_1]]a) \otimes (E[[e_2]]a))，其中 (\otimes \in rop)
- (G[[g_1 \ominus g_2]]a = (G[[g_1]]a) \ominus (G[[g_2]]a))，其中 (\ominus \in lop)

2.2 程序语义

程序 (P = \langle L, X, \ell_0, T \rangle) 的语义定义为最小关系集 ({r_{\ell} \in R^{2k} | \ell \in L})，满足