27、同余自动抽象：原理与算法解析

同余自动抽象：原理与算法解析

在程序验证领域，推断程序变量之间的数值关系一直是一个重要的研究方向。特别是对于位操作算法的验证，通过推导构成程序变量的位之间的不变量是一种有效的方法。这些不变量通常可以用同余方程组来描述，其中每个方程的形式为 (c \cdot x = d \mod m)，这里 (m) 是 2 的幂，(c) 是整数系数向量，(x) 是命题变量（位）向量。由于这些不变量的底层性质以及涉及的大量位，自动推导转移函数显得尤为重要。

1. 引言

近年来，人们对推断程序变量之间的数值关系，尤其是同余关系，重新产生了浓厚的兴趣。在同余抽象域中，每个描述都是一个同余方程组（涉及 (n) 个变量），形式为 (c \cdot x = d \mod m)，简记为 (c \cdot x \equiv_m d)，表示存在一个整数 (k) 使得 (c \cdot x = d + km)。这种同余系统不仅具有很强的表达能力，而且在计算上也具有吸引力。如果 ([0, m - 1]) 范围内的值可以用机器整数表示，那么在抽象操作中可以避免任意精度算术，同时还能获得多项式性能保证。

特别值得关注的是 (m) 为 2 的幂的同余关系，因为它们可以表达在机器字或位级别上成立的不变量。例如，在一些位操作程序中，如计算 (x) 的奇偶性或反转 16 位字 (x) 的程序，往往会建立一些重要但不明显的不变量。对这类程序进行完全精确的位分析，除了最简单的无循环程序外，几乎是不可行的。然而，这些不变量通常可以简洁地表示为同余方程组。但由于涉及的赋值操作不是线性的，传统的同余分析方法并不适用。一种替代方法是对位精确地总结基本程序块，并谨慎地应用同余闭包，这样即使对于有循环的流程图程序，也能揭示位之间的“数值”不变量。