24、矩阵的不变量与类型推断

矩阵的不变量与类型推断

在处理迭代多维数组（如矩阵）的程序时，自动推断量化不变量是一个重要的问题。下面将详细介绍相关的理论、实现和实验结果。

循环不变量和属性的生成

对于每个while循环，需要在标量、数组和未解释函数符号的组合理论中推断循环不变量和属性。具体步骤如下：
1. 标量不变量的生成 ：通过结合符号求和和计算机代数来推断标量（数值）不变量。具体步骤为：
- 为循环迭代计数器m上的标量建立递归方程。
- 计算标量作为m的函数的封闭形式。
- 从封闭形式系统中消除m中的变量。
例如，对于图3中的第二个内循环，封闭形式系统为：
plaintext i(m) = i(0) + m j(m) = j(0) + m
消除m并代入初始值i(0) = j(0) = 0后，得到多项式不变量i = j。类似地，图3中的第一个循环得到标量不变量i = j + c，第三个循环得到标量不变量j = i + c。
2. 多维数组不变量的生成 ：将文献中描述的方法推广到推断量化数组不变量。只处理特定形式的数组赋值。为了推断数组A内容的全称量化数组不变量，利用已经计算出的标量的封闭形式。数组元素的封闭形式表示为：
plaintext A[i(m), j(m)] = f(Var (m)∪RMatr)
其中Var (m) = {x(m)|x∈Var}。进一步，对于所有直到当前迭代m的循环迭代，数组更新位置和更新表达式可以表示为m的函数。可以将其加强为全称量化公式：
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