17、探索区间线性等式抽象域：理论、实现与实验

探索区间线性等式抽象域：理论、实现与实验

1. 弱连接（Weak Join）

弱连接是针对 itvLinEqs 域定义的一种操作。给定两个 itvLinEqs 元素 P 和 P′，弱连接操作定义为：
[P \sqcup_w P’ \stackrel{\text{def}}{=} (P \bowtie_w P’) \sqcap_w (P \uplus P’)]
直观来看，$P \bowtie_w P’$ 部分类似于凸多面体域的多面体凸包，能构建一些重要的凸约束，如仿射等式和线性条纹，还可计算输入仿射空间的精确仿射包。但对于非仿射关系，$P \bowtie_w P’$ 通常无法保证精度，因其基于一系列投影实现，常依赖变量的边界。因此，使用 $P \uplus P’$ 部分通过基于语法启发式生成非凸约束来恢复一些精度，$P \uplus P’$ 不依赖变量边界，可通过区间域的连接轻松实现。$P \sqcup_w P’$ 的计算时间复杂度为 $O(n^4)$。

示例 ：
给定两个 itvLinEqs 元素：
- (P = {I = 2, J - K = 5, [-1, 1]K = 1})
- (P’ = {I = 3, J - K = 8, [-1, 4]K = 2})

则：
- (P \bowtie_w P’ = {3I - J + K = 1, J - K = [5, 8]})
- (P \uplus P’ = {I = [2, 3], J - K = [5, 8], [-1, 4]K = [1, 2]})
- (P \sqcup_w P’ = {3I - J + K