17、电磁学中的有限元分析基础

电磁学中的有限元分析基础

1. 矢量场

“场”作为一种物质形式，虽然看似抽象，但在解释电磁现象以及电机设计中起着关键作用。数学上，场分为标量场和矢量场。标量场如温度、压力和电流密度场，在空间每个点赋予一个标量；矢量场如电场、磁场和固体中的机械应力场，在空间每个点关联一个矢量。标量场和磁场的关系基于麦克斯韦方程组。

1.1 坐标系

• 笛卡尔坐标系 ：在笛卡尔坐标系中，矢量 $\vec{A}$ 由其在正交坐标轴上的投影定义：
  $\vec{A} = A_x\vec{u}_x + A_y\vec{u}_y + A_z\vec{u}_z$
  其中 $\vec{u}_x$、$\vec{u}_y$ 和 $\vec{u}_z$ 是与正交轴 $x$、$y$ 和 $z$ 对齐的单位向量。
• 圆柱坐标系 ：矢量的作用点 $P(r, \theta, z)$ 由圆柱半径 $r$、与 $x$ 轴的夹角 $\theta$ 和高度 $z$ 定义。坐标轴向的单位向量是 $\vec{u} r$、$\vec{u} \theta$ 和 $\vec{u} z$。笛卡尔坐标系和圆柱坐标系之间的变换矩阵为：
  $\begin{bmatrix}
  A_r \
  A \theta \
  A_z
  \end{bmatrix} =
  \begin{bmatrix}
  \cos\theta & \sin\theta & 0 \
  -\sin\theta & \cos\thet