51、三角剖分的最优性与整数规划公式化

三角剖分的最优性与整数规划公式化

1. 三角剖分的整数规划公式

三角剖分的整数规划公式主要有以下三种：
- 公式 0：d - 单纯形的稳定集问题
在 d - 单纯形的交集图 (G(V, E)) 中，(V) 对应 d - 单纯形的集合。当两个对应的 d - 单纯形相交时，在两个节点之间定义一条弧。三角剖分中没有相交的单纯形对，因此对应一个稳定集，并且是最大的。Imai 基于此给出了在一般维度上枚举三角剖分的算法。但并非所有高维多面体都能三角剖分，为确保稳定集成为三角剖分，需满足 d - 单纯形 (i) 的体积 (v_i) 之和等于凸包的体积 (V)。其优化模型如下：
[
\begin{align }
\minimize &\sum_{i} c_ix_i \
\text{s.t.} &\quad x_i \in {0, 1} \
& \quad x_i + x_j \leq 1 \quad (\text{对于 } i, j \text{ 使得 d - 单纯形 } i \text{ 和 d - 单纯形 } j \text{ 相交}) \
& \quad \sum_{i} v_ix_i = V
\end{align }
]
- 公式 1：i - 单纯形（(i \leq d)）的稳定集问题
在二维情况下，Kyoda 等人将最小权重三角剖分（MWT）问题表述为边（1 - 单纯形）交集图上的稳定集问题。其优化模型为：
[
\begin{align }