50、四叉树分解、斯坦纳三角剖分与射线投射及三角剖分优化

四叉树分解、斯坦纳三角剖分与射线投射及三角剖分优化

四叉树分解与三角剖分分析

在对多边形进行处理时，我们可以通过四叉树分解来实现三角剖分。为了便于分析，我们将分解D概念性地细化为另一个分解D∗ 。具体做法是放宽拥挤度的定义：当子多边形α的大小size(α) > δ∗ 且其区域zone(α)至少包含一个多边形顶点时（而非多个），称α为拥挤的，其中δ∗ 是一个小于δ且接近零的常数。我们把D∗ 中大小size(γ) > δ∗ 的单元γ称为正常单元，否则为小单元。

由于D∗ 是D的细化，其总长度更大，因此只需界定D∗ 的总长度即可。D∗ 的优势在于任何包含多边形顶点的单元必定是小单元。

下面有一个技术引理：
- 引理2 ：设γ1 是D∗ 的一个正常非正方形单元。若γ1 的每条实边长度都小于size(γ1)/4 ，则γ1 与D∗ 的一个周长为Θ(size(γ1)) 的单元γ2 相邻，且界定γ2 的实边总长度至少为size(γ1)/4 。

接下来我们可以界定D∗ 进而D的总长度：
- 引理3 ：对于一个有n个顶点的多边形P ，D∗ 进而D的总长度受O(w(MWT )) 限制，其中w(MWT ) 是P的最小权重三角剖分的权重。
- 证明 ：设MWT为P的最小权重三角剖分，且MWT中不允许有斯坦纳点。因为δ∗ 接近零，小单元的周长可忽略不计，所以我们关注正常单元。
- 对于正常正方形单元γ ，设∆ 是MWT中覆盖γ中心的三角形。若∆ 有一个顶点u在11γ内，我们将γ的周长按比例分配到∆ 中与u相关的两条边上。由于