26、优化光树网络连接数量与奇偶测试选择最大元素

优化光树网络连接数量与奇偶测试选择最大元素

光树网络连接数量最大化算法

在光树网络中，最大化连接数量是一个重要的问题。这里介绍一种用于解决该问题的算法，它在单波长情况下能达到近似比为 5/3 + ε 的效果。

不变量

在算法的第一遍处理过程中，需要维持一个不变量，以保证算法的近似比。定义以下集合和变量：
- A ：算法已接受的所有路径的集合。
- F ：集合 P 中，其最近公共祖先（lca）尚未处理，且未被任何已接受路径、延迟路径的保留边或固定边阻塞的所有路径的集合。
- d ：已处理子树中延迟路径组的数量。
- U ：所有未确定路径的集合。
- X ：所有互斥路径组和 2 - 互斥路径组的并集。

存在一个边不相交路径的集合 O ⊆ F ∪ U ∪ X，满足以下条件：
1. 条件 1 ：|P ∗| − |O| ≤ (5/3 + ε)(|A| + d)
2. 条件 2 ：对于每个互斥路径组，O 包含该组中的一条路径；对于每个 2 - 互斥路径组，O 包含该组中的两条路径。

初始时，A = ∅，d = 0，F = P，U = ∅，X = ∅，O = P ∗，不变量成立。在处理每个节点 v 时，需要对集合 O 进行操作，以保证处理完节点 v 后不变量仍然成立。具体来说，可能需要替换或移除 O 中的一些路径，并且要