24、子模和正模系统的多面体结构

子模和正模系统的多面体结构

在网络优化与博弈论领域，子模和正模系统的多面体结构研究具有重要意义。本文将深入探讨相关问题，包括边连通性增强问题、多面体的性质以及与凸博弈核心的关系等。

1. 边连通性增强问题基础

给定网络 (N = (V, E, c))，常数 (k \geq 0) 以及向量 (t \in \mathbb{R} +^V)，若满足 (f_N(X) + t(X) \geq k) 对于所有 (X \in 2^V - {\varnothing, V})，则存在 (k) - 边连通网络 (N’ = (V, E, c’))，使得对于所有 (i \in V) 有 (\sum {e \in E(i)}(c’(e) - c(e)) = t(i))。当 (c)、(t) 和 (k \geq 2) 为整数且 (t(V) = \sum_{i \in V}t(i)) 为偶数时，(c’) 可选择为整数。

边权重的总增加量为 (\frac{1}{2}t(V))。为解决边连通性增强问题，只需找到满足上述条件且使 (t(V)) 最小的向量 (t)。通过定义 (\varPhi(t) = \frac{1}{2}t(V)) 和完全超模集函数 (g(X) = k - f_N(X))，可得到使网络成为 (k) - 边连通所需添加的最小新权重 (\alpha(N, k))，即 (\varPhi(t)) 在满足 (g(X) \leq t(X)) （对于所有 (X \in 2^V - {\varnothing, V})）的 (t) 上的最小值。整数版本下，(\alpha(N, k) = \lceil\frac{1}{2}\varPhi(t)\rceil)。

2. 多面体结构与