20、信号处理中的插值与采样：原理、方法及应用

信号处理中的插值与采样：原理、方法及应用

在信号处理领域，插值和采样是两个至关重要的概念，它们在连续时间信号和离散时间信号之间搭建了桥梁。本文将深入探讨带限信号、插值方法、采样定理以及混叠现象，帮助读者更好地理解信号处理的核心原理。

1. 带限信号

带限信号是指其傅里叶变换仅在有限频率区间内非零的信号。对于信号 $x(t)$，若存在频率 $\Omega_N$ 使得：
[X(j\Omega) = 0, \quad \text{for } |\Omega| \geq \Omega_N]
则称该信号为 $\Omega_N$-带限信号，$\Omega_N$ 通常被称为奈奎斯特频率。与之对称的概念是时限信号，即仅在有限时间区间内非零的连续时间信号。

一个基本定理表明，带限信号不可能是时限信号，反之亦然。从傅里叶变换的时间尺度特性可以直观地理解这一点：
[FT{f(at)} = \frac{1}{|a|}F\left(j\frac{\Omega}{a}\right)]
这意味着信号在时间上越“紧凑”，其频率支持就越宽。

1.1 sinc 函数

考虑一个典型的 $\Omega_N$-带限信号 $\phi(t)$，其傅里叶变换在区间 $[-\Omega_N, \Omega_N]$ 上为实常数，在其他地方为零。若定义矩形函数：
[rect(x) = \begin{cases}
1, & |x| \leq \frac{1}{2} \
0, & |x| > \frac{1}{2}
\end{cases}]
则该典型带限信号的傅里叶变换可表示为： <