19、随机信号处理与插值采样：原理、应用与实践

随机信号处理与插值采样：原理、应用与实践

随机信号处理

频域分析

在随机信号处理中，频域分析是一个重要的研究方向。对于输出过程 $Y [n]$，其功率谱密度 $P_Y (e^{j ω})$ 可以通过公式 $P_Y (e^{j ω}) = |H(e^{j ω})|^2 P_X (e^{j ω})$ 计算得出，其中 $H(e^{j ω})$ 是滤波器的频率响应。同时，输入 - 输出的互功率谱密度 $P_{XY} (e^{j ω})$ 为 $P_{XY} (e^{j ω}) = H(e^{j ω}) P_X (e^{j ω})$。

这一结果在估计未知滤波器特性的实际问题中具有重要意义。例如，当我们向一个未知的线性时不变（LTI）系统注入已知方差为 $\sigma^2$ 的白噪声时，通过计算输入和输出之间的互相关，就可以得到系统频率响应的估计值。

随机过程 $X[n]$ 的总功率等于其方差 $\sigma_X^2 = r_X[0]$，可以通过功率谱密度的离散时间傅里叶逆变换（DTFT）公式 $\sigma_X^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} P_X (e^{j ω}) d ω$ 计算得到。对于经过滤波的过程，其总功率为 $\sigma_Y^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |H(e^{j ω})|^2 P_X (e^{j ω}) d ω$。

功率谱示例

功率谱的直观理解

对于随机变量 $X$，其经验平均值为 $\hat{m} X = \frac{1}{N} \sum {i = 1}^{N} X_