12、信号处理中的滤波器：原理、类型与应用

信号处理中的滤波器：原理、类型与应用

1. 滤波器的相非线性与群延迟

在滤波器的设计和分析中，相非线性并不总是一个严重的问题。例如，若滤波器的相位仅在阻带呈现非线性，那么实际的相位失真通常可以忽略不计。为了衡量相位的非线性程度，我们引入了群延迟的概念。

群延迟的定义

群延迟通过对相位响应在给定频率 $\omega_0$ 附近进行一阶泰勒近似来定义。设 $\phi(\omega) = \angle H(e^{j\omega})$，则在 $\omega_0$ 附近，$\phi(\omega)$ 可近似表示为 $\phi(\omega_0 + \tau) = \phi(\omega_0) + \tau\phi’(\omega_0)$。由此可得滤波器的频率响应近似为：
[H(e^{j(\omega_0 + \tau)}) \approx \left|H(e^{j(\omega_0 + \tau)})\right| e^{j\phi(\omega_0)} e^{j\phi’(\omega_0)\tau}]
这表明，在 $\omega_0$ 附近的一组频率范围内，滤波器的频率响应近似为线性相位。该组频率的延迟是相位导数的负值，即群延迟的定义为：
[grd[H(e^{j\omega})] = -\phi’(\omega) = -\frac{d\angle H(e^{j\omega})}{d\omega}]
对于真正的线性相位系统，群延迟是一个常数。群延迟与常数的偏差量化了滤波器引入的相位失真程度，以频率分量延迟的（可能非整数）样本数来衡量。

2. 可实现的去噪滤波器

移动平均滤波器