7、傅里叶分析：离散傅里叶变换、离散傅里叶级数与离散时间傅里叶变换

傅里叶分析：离散傅里叶变换、离散傅里叶级数与离散时间傅里叶变换

1. 离散傅里叶变换（DFT）

为了对有限长度信号进行傅里叶表示，我们需要找到一组长度为 $N$ 的振荡信号，这些信号在其支撑区间内包含整数个周期。我们从考虑一族有限长度的正弦信号开始，其形式为：
[w_k[n] = e^{j\omega_kn}, \quad n = 0, \cdots, N - 1]
其中，所有的 $\omega_k$ 是满足我们要求的不同频率。为了确定这些频率值，我们注意到，为了使 $w_k[n]$ 在 $N$ 个样本上包含整数个周期，它必须满足 $w_k[N] = w_k[0] = 1$，即：
[(e^{j\omega_k})^N = 1]
上述方程有 $N$ 个不同的解，它们是单位根 $e^{j2\pi m/N}, m = 0, \cdots, N - 1$。如果我们定义复数 $W_N = e^{-j\frac{2\pi}{N}}$，那么式（4.1）中的 $N$ 个信号族可以写成：
[w_k[n] = W_N^{-nk}, \quad n = 0, \cdots, N - 1]
对于每个 $k = 0, \cdots, N - 1$ 的值。我们可以将这 $N$ 个信号表示为 $\mathbb{C}^N$ 中的一组向量 ${w(k)}_{k = 0, \cdots, N - 1}$，其中：
[w(k) = \begin{bmatrix} 1 & W_N^{-k} & W_N^{-2k} & \cdots & W_N^{-(N - 1)k} \end{bmatrix}^T]

可以验证，${w(k)} {k