吴恩达机器学习笔记：逻辑回归2

2.假说表示

在分类问题中，要用什么样的函数来表示我们的假设。此前我们说过，希望我们的分类器的输出值在 0 和 1 之间，因此，我们希望想出一个满足某个性质的假设函数，这个性质是它的预测值要在 0 和 1 之间。

根据线性回归模型我们只能预测连续的值，然而对于分类问题，我们需要输出 0 或 1， 我们可以预测：
当ℎθ (x) >= 0.5时，预测 y = 1。
当ℎθ (x) < 0.5时，预测 y = 0 。

对于上图所示的数据，这样的一个线性模型似乎能很好地完成分类任务。假使我们又观测到一个非常大尺寸的恶性肿瘤，将其作为实例加入到我们的训练集中来，这将使得我们获得一条新的直线。

这时，再使用 0.5 作为阀值来预测肿瘤是良性还是恶性便不合适了。可以看出，线性回归模型，因为其预测的值可以超越[0,1]的范围，并不适合解决这样的问题。
我们引入一个新的模型，逻辑回归，该模型的输出变量范围始终在 0 和 1 之间。
逻辑回归模型的假设是： $h_{\theta }(x)=g({\theta }^{T}X)$ 其中： X 代表特征向量 g 代表逻辑函数（logistic function)是一个常用的逻辑函数为 S 形函数（Sigmoid function），公式为 $g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$

python 代码实现：

import numpy as np
def sigmoid(z):
 return 1 / (1 + np.exp(-z))

该函数的图像为：

合起来，我们得到逻辑回归模型的假设：
对模型的理解: $g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$
ℎθ (x)的作用是，对于给定的输入变量，根据选择的参数计算输出变量=1 的可能性 （estimated probablity）
即ℎθ (x) = P(y = 1|x; θ)

例如，如果对于给定的x，通过已经确定的参数计算得出ℎθ (x) = 0.7，则表示有 70%的几率y为正向类，相应地y为负向类的几率为 1-0.7=0.3。