线性代数---第四章线性方程组

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于 2022-11-05 16:03:59 首次发布
本文探讨了线性代数中的关键概念和技术，包括克拉默法则的应用、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的解法，以及如何通过矩阵的秩来判断方程组的解的情况。文章还提供了求解线性方程组的实用步骤。

1由克拉默法则可证齐次方程组有非零解的充分必要条件为r(A)<n

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所以基础解系必是线性无关的

2r(A)=2<4则有两个线性无关的解

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3基础解系为列向量

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4转化为行最简，除掉每行第一个1出现的那一列，其它的就是自由元素。它的原理就是本行出现1，就是说可以被表示，自由元素是无法被表示的那些行。

5求齐次线性方程组归根到底是要求A，即a11，a12……a1n

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6非齐次线性方程组增广矩阵的秩大1即为无解

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A的秩等于A的增广矩阵的秩小于n，则有无穷多解。

7求特解最简单的办法就是将自由变量设为0

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8原来矩阵做初等行变换一般是化为行最简形式

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9原来非齐次线性方程组有无穷多解就是r(A)=r(增广矩阵)<n

当行列式中出现未知数的时候，一定要把最复杂的式子放在最下面
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10通解是按齐次方程来算的，特解是按非齐次方程来算的

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11利用线性方程组求解矩阵

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12利用非齐次的几个解相加减可以得到齐次的解

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如果线性相关，那就代表可以被消去，那么矩阵的秩一定小于n，同样，如果线性无关，那就代表不可被消去，那矩阵的秩就一定等于n

13可以线性表出就是方程组有解，不能线性表出就是方程组无解

14矩阵的秩就是极大线性无关组的个数

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