KMP算法详解

【KMP算法简介】

 

        KMP算法是一种改进后的字符串匹配算法，由D.E.Knuth与V.R.Pratt和J.H.Morris同时发现，因此人们称它为克努特——莫里斯——普拉特操作（简称KMP算法）。通过一个辅助函数实现跳过扫描不必要的目标串字符，以达到优化效果。

 

 

 

【传统字符串匹配算法的缺憾】

 

        Bill认为，对于一种优化的算法，既要知道优化的细节，也更应该了解它的前身（至于KMP是否基于传统算法，我不清楚，这里只作语境上的前身），了解是什么原因导致了人们要去优化它，因此加入了这一段：

请看以下传统字符串匹配的代码：

void NativeStrMatching( ElemType Target[], ElemType Pattern[])  
{  
    register intTarLen = 0;   // Length of Target  
    register intPatLen = 0;   // Length of Pattern  
 
    // Computethe length of Pattern  
    while( '\0'!= Pattern[PatLen] )  
       PatLen++;  
 
    while( '\0'!= Target[TarLen] )  
   {  
       int TmpTarLen = TarLen;  
       for(int i=0; i<PatLen;i++)  
       {  
           if( Target[TmpTarLen++] != Pattern[i])  
               break;  
           if( i == PatLen-1 )  
               cout<<"Native String Matching,patternoccurs with shift"<<TarLen<<endl;  
       }  
       TarLen++;  
   }  
} 

【代码思想】

    传统匹配思想是，从目标串Target的第一个字符开始扫描，逐一与模式串的对应字符进行匹配，若该组字符匹配，则检测下一组字符，如遇失配，则退回到Target的第二个字符，重复上述步骤，直到整个Pattern在Target中找到匹配，或者已经扫描完整个目标串也没能够完成匹配为止。

    这样的算法理解起来很简单，实现起来也容易，但是其中包含了过多不必要的操作，也就是在目标串中，有些字符是可以直接跳过，不必检测的。

 

不妨假设我们的目标串

Target =  "a b c d e a b c d e a b c d f"

 

需要匹配的模式串

Pattern = "c d f";

 

那么当匹配到如下情况时

        

 

由于 'e' != 'f' ，因此失配，那么下次匹配起始位置就是目标串的'd'字符

      

我们发现这里照样失配，直到运行到下述情况

也就是说，中间的四个字符 d e a b完全没有必要检测，直接跳转到下一个'c'开始的地方进行检测   

     

    由此可见传统算法虽然简单易行，但其中包含了过多的不必要操作，并不能很好地达到实际工作中需要的效率，因此个人认为此方法适合为初识字符串匹配做一个铺垫作用，有抛砖引玉之意。

    说其抛砖引玉并不为过，对KMP算法的理解便可以基于传统模式串匹配算法进行思考。

 

 

 

 

【KMP算法的引入】

 

    既然知道了传统算法的不足之处，就要对症下药，优化这个冗余的检测算法。

    KMP算法就能很好地解决这个冗余问题。

    其主要思想为：

         在失配后，并不简单地从目标串下一个字符开始新一轮的检测，而是依据在检测之前得到的有用信息（稍后详述），直接跳过不必要的检测，从而达到一个较高的检测效率。

 

    如我们的

 

            

         a b c d e a b c d e a b c d f

             || :     || :

             c df     cd f

        第一次失配   新的检测

 

       当第一次失配后，并不从红色标记字符'd'开始检测，而是通过一些有用信息，直接跳过后几个肯定不可能匹配的冗余字符，而直接让模式串Pattern从目标串的红色标记字符'c'开始新一轮的检测，从而达到了减少循环次数的效果

 

 

 

【KMP算法思想详述与实现】

 

       前面提到，KMP算法通过一个“有用信息”可以知道目标串中下一个字符是否有必要被检测，这个“有用信息”就是用所谓的“前缀函数（一般数据结构书中的next函数）”来存储的。

       这个函数能够反映出现失配情况时，系统应该跳过多少无用字符（也即模式串应该向右滑动多长距离）而进行下一次检测，在上例中，这个距离为4.

       总的来讲，KMP算法有2个难点：

             一是这个前缀函数的求法。

             二是在得到前缀函数之后，怎么运用这个函数所反映的有效信息避免不必要的检测。

下面分为两个板块分别详述：

 

 

【前缀函数的引入及实现】

 

【前缀函数的引入】

 

       对于前缀函数，先要理解前缀是什么：

       简单地说，如字符串A ="abcde"       B = "ab"

       那么就称字符串B为A的前缀，记为B ⊏A(注意那不是"包含于"，Bill把它读作B前缀于A)，说句题外话——"⊏"这个符号很形象嘛，封了口的这面相当于头，在头前面的就是前缀了。

       同理可知 C = "e","de" 等都是 A 的后缀，以为C ⊐ A（Bill把它读作C后缀于A）

 

 

       

 

理解了什么是前、后缀，就来看看什么是前缀函数：

 

       在这里不打算引用过多的理论来说明，直接引入实例会比较容易理解，看如下示例：

  

     (下述字符若带下标，则对应于图中画圈字符)

     这里模式串 P = “ababaca”,在匹配了 q=5个字符后失配，因此，下一步就是要考虑将P向右移多少位进行新的一轮匹配检测。传统模式中，直接将P右移1位，也就是将P的首字符'a'去和目标串的'b'字符进行检测，这明显是多余的。通过我们肉眼的观察，可以很简单的知道应该将模式串P右移到下图'a3'处再开始新一轮的检测，直接跳过肯定不匹配的字符'b'，那么我们“肉眼”观察的这一结果怎么把它用语言表示出来呢？

  
    我们的观察过程是这样的：

         P的前缀"ab"中'a' !='b'，又因该前缀已经匹配了T中对应的"ab"，因此，该前缀的字符'a1'肯定不会和T中对应的字串"ab"中的'b'匹配，也就是将P向右滑动一个位移是无意义的。

         接下来考察P的前缀"aba"，发现该前缀自身的前缀'a1'与自身后缀'a2'相等，"a1 b a2" 已经匹配了T中的"a ba3"，因此有 'a2' == 'a3', 故得到 'a1' == 'a3'......

         利用此思想，可推知在已经匹配 q=5 个字符的情况下，将P向右移 当且仅当2个位移时，才能满足既没有冗余(如把'a'去和'b'比较)，又不会丢失(如把'a1' 直接与 'a4' 开始比较，则丢失了与'a3'的比较)。

         而前缀函数就是这样一种函数，它决定了q与位移的一一对应关系，通过它就可以间接地求得位移s。

    

 

 

    通过对各种模式串进行上述分析(大家可以自己多写几个模式串出来自己分析理解)，发现给定一个匹配字符数 q，则唯一对应一个有效位移，如上述q=5,则对应位移为2.

    这就形成了一一对应关系，而这种唯一的关系就是由前缀函数决定的。

    这到底是怎样的一种关系呢？

    通过对诸多模式串实例的研究，我们会找到一个规律（规律的证明及引理详见《算法导论(第二版)》）。

    上例中，P已经匹配的字符串为"ababa",那么这个字符串中，满足既是自身真后缀(即不等于自身的后缀)，又是自身最长前缀的字符串为"aba"，我们设这个特殊字串的长度为L，显然，L= 3. 故我们要求的 s = q - L = 5 - 3 = 2 ，满足前述分析。

    

    根据这个规律，即可得到我们要求的有效位移s，等于已经匹配的字符数 q 减去长度 L。

    即 s = q - L

    因为这个长度 L 与 q 一一对应，决定于q，因此用一函数来表达这一关系非常恰当，这就是所谓的前缀函数了。

    因为已经分析得到该关系为一一对应关系，因此用数组来表示该函数是比较恰当的，以数组的下标表示已经匹配的字符数 q，以下标对应的数据存储L。

 

 

 

【前缀函数的实现】

    

下面就来分析怎么用代码来表达这种关系。

这里采用《算法导论(第二版)》中的思想求解。

 

不妨以 PrefixFunc[] 表示这个前缀函数，那么我们将得到以下求前缀函数的函数：

由于 0个匹配字符数在计算中没有意义，因此PrefixFunc下标从1开始，也就是从已经有一个字符(即首字符)匹配的情况开始

 
// Compute Prefixfunction  
void CptPfFunc( ElemType Pattern[], int PrefixFunc[])    
{  
    // ERROR:The parameter Pattern[] is a pointer,the size of it is4  
           
      
       register int iLen = 0;  // Length ofPattern[]  
    while( '\0'!= Pattern[iLen] )  
       iLen++;  
      
    int LOLP =0;   // Lenth of longestprefix  
   PrefixFunc[1] = 0;  
 
    for( intNOCM=2; NOCM<iLen+1; NOCM++)   // NOCM represent the numberof characters matched  
   {  
       while( LOLP>0 &&(Pattern[LOLP] != Pattern[NOCM-1]))  
           LOLP = PrefixFunc[LOLP];  
       if( Pattern[LOLP] == Pattern[NOCM-1])  
           LOLP++;  
       PrefixFunc[NOCM] = LOLP;  
   }  
}  

 

     

 对此函数的详解，不妨以一实例带入(建议大家自己手算一下，算完应该就有感觉了)，易于理解：

                             

 不妨设模式串Pattern = "a b  c  c a  b  c c  a  b c  a"

      Pattern数组编号：0  1  2 3  4  5 6  7  8 9  10 11

 

NOCM 表示 已经匹配的字符数

LOLP 表示 既是自身真后缀又是自身最长前缀的字符串长度

 

以下是计算流程：

PrefixFunc[1] = 0； //只匹配一个字符就失配时，显然该值为零

 

LOLP = 0；   NOCM =2；   LOLP =0;   PrefixFunc[2] = 0;

LOLP = 0；   NOCM =3；   LOLP =0;   PrefixFunc[3] = 0;

LOLP = 0；   NOCM =4；   LOLP =0;   PrefixFunc[4] = 0;

LOLP = 0；   NOCM =5；   LOLP =1;   PrefixFunc[5] = 1;

LOLP = 1；   NOCM =6；   LOLP =2;   PrefixFunc[6] = 2;

LOLP = 2；   NOCM =7；   LOLP =3;   PrefixFunc[7] = 3;

LOLP = 3；   NOCM =8；   LOLP =4;   PrefixFunc[8] = 4;

LOLP = 4；   NOCM =9；   LOLP =5;   PrefixFunc[9] = 5;

LOLP = 5；   NOCM = 10； LOLP =6;   PrefixFunc[10] = 6;

LOLP = 6；   NOCM = 11； LOLP =7;   PrefixFunc[11] = 7;

LOLP = 7；   NOCM = 12；

---------此时满足条件while( LOLP>0&& (Pattern[LOLP] !=Pattern[NOCM-1]) )-------------

while语句中的执行

{

          LOLP = 7;   NOCM =12;  LOLP = PrefixFunc[7] = 3;

          LOLP = 3;   NOCM =12;  LOLP = PrefixFunc[3] = 0;

}

LOLP = 0；   NOCM = 12； LOLP =1;   PrefixFunc[12] = 1;

 

最后我们的前缀函数 PrefixFunc[] = { 0,0,0,0,1,2,3,4,5,6,7,1 }

 

 

其间最精妙的要属失配时的操作

 

while( LOLP>0 &&(Pattern[LOLP] != Pattern[NOCM-1]) )
             LOLP = PrefixFunc[LOLP]; 

 

其中 LOLP = PrefixFunc[LOLP]; 递归调用PrefixFunc函数，直到整个P字串都再无最长前缀或者找到一个之前的满足条件的最长前缀。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 【应用前缀函数优化传统匹配算法——KMP算法实现】

由以上分析，不难推导KMP算法的实现

void KMPstrMatching( ElemType Target[], ElemType Pattern[]) 

 
{  
    intPrefixFunc[MAX_SIZE];  
    register intTarLen = 0;  
    register intPatLen = 0;  
 
    // Computethe length of array Target andPattern  
    while( '\0'!= Target[TarLen] )  
       TarLen++;  
 
    while( '\0'!= Pattern[PatLen] )  
       PatLen++;  
      
    // Computethe prefix function ofPattern  
    CptPfFunc(Pattern, PrefixFunc );  
 
    int NOCM =0;   // Number of charactersmatched  
 
    for( inti=0; i<TarLen; i++)  
   {  
       while( NOCM>0 &&Pattern[NOCM] != Target[i])  
           NOCM = PrefixFunc[NOCM];  
       if( Pattern[NOCM] == Target[i])  
           NOCM++;  
       if( NOCM == PatLen )  
       {  
           cout<<"KMP String Matching,patternoccurs with shift "<<i - PatLen +1<<endl;  
           NOCM = PrefixFunc[NOCM];  
       }  
   }  
}