数论之Lucas定理及证明过程

最新推荐文章于 2021-08-15 11:30:11 发布

皮科克

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本文介绍Lucas定理及其证明过程，该定理用于解决组合数取模问题，尤其适用于素数模意义下的计算。通过将非负整数转化为p进制表示，推导出组合数取模的计算公式。

转自这里 http://blog.youkuaiyun.com/m674019130/article/details/76149170

Lucas定理主要用于组合数取模。

$C m n \equiv C m / p n / p \cdot C m % p n % p (mod p)$

$p 为素数， m 和 n 为非负整数$

$(a b) 即 C b a$

证明过程:

已知p为素数，将非负整数a转化为p进制表示

$a = a k p k + a k - 1 p k - 1 + \dots + a 1 k + a 0$

因为p是素数，所以对于

$1 \leq j \leq p - 1$

都有

$C j p = p j \cdot C j - 1 p - 1 \equiv 0 (mod p)$

于是有

$(1 + x) p = 1 + C 1 p + C 2 p + \dots + C p - 1 p x p - 1 + C p p x p = 1 + \sum i = 1 p - 1 C j p + x p \equiv 1 + x p (mod p) ①$

设

$n = s p + q$ $m = t p + r$

即

$s = n \div p$ $q = n % p$

$t = m \div p$ $r = m % p$

则

$(1 + x) n = (1 + x) s p + q = (1 + x) s p \cdot (1 + x) q = [(1 + x) s] p \cdot (1 + x) q$

代入上式得

$(1 + x) n \equiv (1 + x p) s \cdot (1 + x) q (mod p) ②$

对(1+xp)s 和 (1+xp)⋅(1+x)q 分别进行二项式展开得

$(1 + x p) s \cdot (1 + x) q \equiv \sum i = 0 s (s i) x i p \cdot \sum j = 0 q (q j) x j (mod p)$

即

$(1 + x) n \equiv \sum i = 0 s (s i) x i p \cdot \sum j = 0 q (q j) x j m o d (mod p) ③$

对(1+x)n进行普通二项式展开得：

$(1 + x) n = \sum i = 0 s p + q (s p + q k) x k$

③式中xtp+r的系数为(sp+qtp+r)

寻找②式中xtp+r这一项，当且仅当i=t，j=r时，能得到xtp+r的系数，即(st) (qr)

即

$(s p + q t p + r) \equiv (s t) (q r) (mod p)$

即

$(n m) \equiv (n / p m / p) (m % p n % p) (mod p)$

证明完毕。

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