17、广义平稳随机过程：概念、特性与应用

广义平稳随机过程：概念、特性与应用

1. 引言

在对随机过程的研究中，平稳性是一个重要的概念。然而，严格的平稳性条件在实际应用中往往难以满足。因此，我们引入了一种较为宽松的平稳性概念——广义平稳（Wide Sense Stationary，WSS）。广义平稳随机过程要求均值不随时间变化，协方差序列仅取决于样本之间的时间间隔。这种定义不仅在数学上易于处理，而且在实际应用中也更为常见。

广义平稳随机过程的一个重要应用是功率谱密度（Power Spectral Density，PSD）的定义。PSD可以将随机过程的行为分解为不同频率的正弦波之和，类似于对确定性信号的分析。这种分析方法在许多科学领域中都具有重要意义，例如系统控制、信号处理、经济学、地球物理学、振动测试和金融分析等。

以Wolfer太阳黑子数据为例，该数据记录了每年通过望远镜观测到的太阳黑子的平均数量。随着太阳黑子数量的增加，太阳耀斑的活动也会增加，从而干扰地球上的所有无线电通信。通过对该数据的PSD估计，我们可以发现数据中存在一个约为11年的周期，这为预测太阳活动提供了有力的工具。

2. 广义平稳随机过程的定义

考虑一个离散时间随机过程 (X[n])，其均值和协方差序列定义如下：
- 均值序列：(\mu_X[n] = E[X[n]])，其中 (-\infty < n < \infty)。
- 协方差序列：(c_X[n_1,n_2] = E[(X[n_1] - \mu_X[n_1])(X[n_2] - \mu_X[n_2])])，其中 (n_1,n_2) 为整数。

在实际应用中，由于均值和协方差通常会随时间变化，因此估计它们变得