样本方差为什么要除n-1，而不是n

首先我们来看看方差的计算公式：$S^2=\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$
其中：$\overline{X}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$ 为均值
由均值的计算公式知，一旦计算了平均值，n个变量就是不再独立了，都与均值产生了联系，也就是说在n个随机变量$X_i$ 中只要知道了其中的任意n-1个及均值$\overline{X}$ 就能求出另外一个，故能自由地取值的随机变量只有n-1个。所以在用均值计算方差时，能自由变化的随机变量只有n-1个，所以方差要除是n-1。
举个例子，$X_1=2，X_2=4，X_3=6$ ，均值$\overline{X}=4$，只要知道了$\overline{X}$和$X_1,X_2$，$X_3=3\times\overline{X}-X_1-X_2$ ，就能计算出来，也就是说$X_3$不能自由地取值了。

---

我们希望样本方差的期望是总体的方差($\sigma^2$)，如果把自由度设为n会有什么后果？证明一下。

E(S2)=E(1n