15、考虑交易成本的元启发式投资组合再平衡策略

考虑交易成本的元启发式投资组合再平衡策略

1. 投资组合再平衡概述

在投资领域，基金经理和投资公司在确定投资组合的资产配置时，需要综合考虑多种因素，以平衡风险和回报，实现投资目标。资产配置是长期投资绩效的关键因素，但市场力量的波动会使投资组合偏离初始目标，导致权重漂移。这种漂移可能使投资组合面临比投资者预期更高的风险，降低多元化程度，增加波动性。因此，投资组合再平衡显得尤为重要。

投资组合再平衡是指通过买卖部分资产，将投资组合的权重调整回初始状态，或根据风险、回报和多元化目标重新分配资产权重。常见的再平衡方法之一是主动再平衡，即根据对预期市场条件的分析，在需要时进行再平衡。这种方法是一种基于市场分析的战术性资产配置。

然而，投资组合再平衡也伴随着成本，如资本利得税、交易执行和处理成本、管理费用等。这些成本通常被称为交易成本，会侵蚀再平衡后投资组合的回报。因此，投资者通常希望在再平衡过程中尽量降低交易成本，使投资组合在扣除所有成本后仍能获得合理回报。

示例说明

假设有两位投资者 Gita 和 Gautier，他们分别将 100 万卢比的 60%投资于股票基金，40%投资于债券基金。一年后，由于股票表现优于债券，他们的投资组合资产配置发生了变化，股票占比升至 71%，债券降至 29%。

Gita 是风险厌恶型投资者，她决定进行再平衡以维持风险 - 回报容忍度。而 Gautier 对未再平衡投资组合 16.67%的回报感到满意，选择维持现状。

又过了一年，市场变得动荡，股票基金下跌 10%，债券基金上涨 15%。此时，Gita 的再平衡投资组合未遭受损失，而 Gautier 的投资组合则亏损了 2.7%。这个例子表明，在特定情况下，投资组合再平衡是一个明智的决策，但如果市场上涨，未再平衡的投资组合可能会获得更高的回报。这取决于投资者的风险承受能力和对投资组合潜在收益与安全性的权衡。

2. 投资组合再平衡数学模型

模型定义

设 $P_{Orignl}$ 表示原始投资组合分配，我们的目标是将长期未调整的投资组合进行最优再平衡，得到最优再平衡投资组合 $P_{Rebal}$。该模型的核心是确定最优的买卖权重，即原始投资组合中各资产需要买卖的比例，以使再平衡后的投资组合符合投资者的风险承受能力。

用 $W = (w_1, w_2, \cdots, w_N)’$ 表示原始投资组合的权重分配，$X = (x_1, x_2, \cdots, x_N)’$ 表示再平衡投资组合的期望最优分配。$x_i^+$ 和 $x_i^-$ 分别表示第 $i$ 种资产需要买入或卖出的权重比例，且对于每种资产 $i$，$[x_i^+, x_i^-]$ 是互斥的，即如果决定卖出资产，则 $x_i^+ = 0$；如果决定买入资产，则 $x_i^- = 0$。设 $p$ 为交易成本率，$u_i$ 为可买入资产比例的上限，用于控制交易成本。

模型的单一目标是最大化 $P_{Rebal}$ 的多元化比率，这等价于最小化其风险。多元化比率（DR）是一种常用的多元化指数方法。

约束条件

• 买卖资产权重范围 ：
  • $0 \leq x_i^+ \leq u_i$（买入资产权重的界限）
  • $0 \leq x_i^- \leq w_i$（卖出资产权重的界限）
• 再平衡投资组合权重计算 ：$x_i = w_i + x_i^+ - x_i^-$
• 再平衡投资组合权重范围 ：$0 \leq x_i \leq 1$
• 自融资条件 ：$\sum_{i=1}^{N} x_i + p \cdot \sum_{i=1}^{N} (x_i^+ + x_i^-) = 1$
• 风险上限约束 ：$X’ \cdot V \cdot X \leq Risk_{Orignl}$，其中 $Risk_{Orignl}$ 是原始投资组合的风险

模型优化

为了解决上述约束优化问题，采用 Joines 和 Houck 的惩罚函数策略将非线性约束 $X’ \cdot V \cdot X \leq Risk_{Orignl}$ 纳入惩罚目标函数，得到转换后的投资组合再平衡模型：

$Max \left( \frac{\sigma \cdot X}{X’ \cdot V \cdot X} - \psi(X, V, Risk_{Orignl}, t) \right)$

其中，$\psi(X, V, Risk_{Orignl}, t) = (C \cdot t)^{\alpha} \left( G \cdot \varphi(X, V, Risk_{Orignl})^{\beta} \right)$

$\varphi(X, V, Risk_{Orignl}) = X’ \cdot V \cdot X - Risk_{Orignl} - \varepsilon$

$G = \begin{cases} 0, & \varphi(X, V, Risk_{Orignl}) \leq 0 \ 1, & otherwise \end{cases}$

$C$、$\alpha$、$\beta$ 是影响解质量的系数，$t$ 是迭代次数计数器，$\varepsilon$ 是容忍度水平。该转换模型的约束条件为 $[7.2] - [7.6]$，使用带名人堂的进化策略（ES HOF）进行求解。

3. 带名人堂的进化策略用于投资组合再平衡

进化策略简介

进化策略是一种元启发式策略，通过名人堂机制引入精英主义。它从一个代表候选解决方案集的初始随机染色体种群开始，每个染色体的基因代表问题的设计变量。在处理约束优化问题时，可采用权重修复策略和惩罚函数策略将候选解决方案集转换为可行解决方案集。

接下来，对初始种群（父种群）执行遗传继承操作，如算术可变点交叉和实数均匀变异，生成子代种群。子代种群同样需要通过权重修复或惩罚函数策略进行转换，以满足所有约束条件，成为另一个可行解决方案集。

选择操作从父种群和子代种群中选择最优个体进入下一代。被选中的最优个体将与名人堂中的染色体竞争或被纳入名人堂。这个过程不断迭代，直到满足终止条件，此时名人堂中的个体即为最优解，其基因代表问题的最优变量值。

使用 ES HOF 获得最优再平衡投资组合

通过让 ES HOF 处理由 $[7.8] - [7.9]$ 作为目标函数，$[7.2] - [7.6]$ 作为约束条件的约束优化问题，可获得最优再平衡投资组合。具体步骤如下：
1. 初始化 ：ES HOF 的染色体包含 $N$ 个基因，代表各资产的买卖权重 $(x_i^+ / x_i^-)$。初始种群的染色体随机生成，每个基因 $[x_i^+, x_i^-]$ 随机决定买卖决策，并满足 $[7.2] - [7.3]$ 的界限。调用权重修复策略 $PortfolioRebalancing_WeightRepair$ 对权重进行标准化，使父种群的染色体代表可行的买卖权重解决方案集。通过 $x_i = w_i + x_i^+ - x_i^-$ 计算再平衡权重 $X$，并使用 $[7.8] - [7.9]$ 计算种群的适应度函数值。
2. 遗传操作 ：对随机选择的父对执行算术可变点交叉和实数均匀变异操作，生成子代种群。子代种群需要进行归一化处理，以满足 $[7.2] - [7.3]$ 的界限。再次调用权重修复策略将子代种群的买卖权重转换为可行解决方案集，并计算其适应度值。
3. 选择操作 ：按照 $\mu:\lambda$ 的比例从父种群和子代种群中选择最优个体进入下一代 $NEXTGEN$。选择 $NEXTGEN$ 中惩罚函数值为零（$\psi = 0$）的最优染色体纳入名人堂。将 $NEXTGEN$ 作为下一代的父种群。
4. 迭代过程 ：每一代中，$NEXTGEN$ 的最优染色体与名人堂中的染色体竞争。当达到预设的迭代次数时，迭代结束，名人堂中的染色体即为最优解。根据该染色体代表的最优 $(x_i^+ / x_i^-)$，通过 $x_i = w_i + x_i^+ - x_i^-$ 计算最优再平衡权重 $X$，并使用 $[7.8]$ 计算最优再平衡投资组合的最大多元化比率。

权重修复策略

权重修复策略 $PortfolioRebalancing_WeightRepair$ 用于将候选解决方案向量 $Z$ 转换为可行解决方案向量，以满足 $[7.4] - [7.6]$ 的约束条件。具体步骤如下：
1. 计算差异 ：计算 $DIFF = \sum_{i} x_i^+ - a \cdot \sum_{j} x_j^-$，其中 $a = \frac{1 - p}{1 + p}$。
2. 差异处理 ：
- 如果 $DIFF = 0$，则结束处理。
- 如果 $DIFF > 0$，计算 $term = \frac{DIFF}{NZ}$（$NZ$ 为 $Z$ 中的非零权重数量），并将 $DIFF$ 重新分配到买卖权重：
- $x_i^+ = x_i^+ - term$
- $x_j^- = x_j^- + \frac{term}{a}$
- 如果 $DIFF < 0$，则进行相反的分配：
- $x_i^+ = x_i^+ + term$
- $x_j^- = x_j^- - \frac{term}{a}$
3. 边界调整 ：
- 如果重新分配后的权重违反了下限 $[7.2] - [7.3]$，调用 $ADJUST_LOWBOUNDS_PFREBAL()$ 函数进行调整。该函数会将低于下限的权重提升到下限，并通过从其他可调整的权重中扣除相应份额来平衡调整量。
- 如果调整后的权重违反了上限，调用 $ADJUST_UPBOUNDS_PFREBAL()$ 函数进行调整。该函数会将超过上限的权重降低到上限，并将多余的权重平均分配到其他权重中，确保最终的权重向量满足所有约束条件。

示例

假设原始投资组合包含十种资产，权重为 $W = (0.25, 0.15, 0.1, 0.1, 0.05, 0.05, 0.2, 0.05, 0.03, 0.02)$。随机生成的买卖权重向量为 $(0.0064 (B), 0.02 (B), 0.0191 (S), 0.0038 (B), 0.0076 (B), 0.0242 (S), 0.0242 (B), 0.0134 (B), 0.0158 (S), 0.001 (S))$，买入权重的上下限为 $[0, 0.025]$，卖出权重受原始投资组合权重限制，交易成本率 $p = 0.0044$，则 $a = 0.9912$。

计算可得：$\sum_{i} x_i^+ = 0.0755$，$\sum_{j} x_j^- = 0.0601$，$DIFF = 0.0159$。由于 $DIFF > 0$，$term = 0.0016$。根据 $[7.11]$ 进行权重修复后，得到新的向量 $(0.0048 (B), 0.0184 (B), 0.0207 (S), 0.0023 (B), 0.006 (B), 0.0258 (S), 0.0226 (B), 0.0118 (B), 0.0174 (S), 0.0026 (S))$。

流程图

graph TD
    A[初始化种群] --> B[计算适应度值]
    B --> C[选择父代]
    C --> D[交叉和变异操作]
    D --> E[生成子代种群]
    E --> F[子代种群归一化]
    F --> G[权重修复]
    G --> H[计算子代适应度值]
    H --> I[选择下一代个体]
    I --> J{是否达到终止条件}
    J -- 否 --> B
    J -- 是 --> K[输出名人堂中的最优解]

综上所述，通过带名人堂的进化策略和权重修复策略，可以有效地解决考虑交易成本的投资组合再平衡问题，帮助投资者在降低风险的同时，实现投资组合的多元化和合理回报。在实际应用中，投资者可以根据自身的风险承受能力和投资目标，调整模型参数，以获得更适合自己的投资组合再平衡方案。

4. 投资组合再平衡策略的优势与挑战

优势

• 风险控制 ：投资组合再平衡能够将投资组合的风险控制在投资者可承受的范围内。通过定期调整资产权重，避免因市场波动导致的权重漂移，使投资组合的风险特征与投资者的风险偏好保持一致。例如，在市场上涨时，股票资产的权重可能会增加，导致投资组合的风险上升。通过再平衡，卖出部分股票，买入其他资产，可以降低投资组合的整体风险。
• 多元化增强 ：再平衡有助于维持投资组合的多元化程度。随着时间的推移，不同资产的表现可能会出现差异，导致投资组合的多元化程度下降。通过再平衡，重新调整资产权重，可以确保投资组合包含多种不同类型的资产，从而降低单一资产对投资组合的影响，提高投资组合的稳定性。
• 潜在回报提升 ：在某些情况下，再平衡可以带来潜在的回报提升。当市场出现反转时，再平衡可以使投资者在资产价格较低时买入，在资产价格较高时卖出，从而实现低买高卖的效果。例如，在市场下跌后，股票资产的价格可能会下降，此时增加股票资产的权重，在市场反弹时可能会获得更高的回报。

挑战

• 交易成本 ：投资组合再平衡需要进行买卖交易，这会产生交易成本，如佣金、印花税等。交易成本会降低投资组合的实际回报，特别是在频繁再平衡的情况下，交易成本的影响会更加显著。因此，在进行再平衡时，需要权衡交易成本和潜在回报，选择合适的再平衡频率。
• 市场预测困难 ：再平衡策略通常基于对市场的预期，但市场是复杂多变的，准确预测市场走势是非常困难的。如果市场走势与预期不符，再平衡可能无法达到预期的效果，甚至可能导致投资组合的表现不佳。例如，在市场持续上涨时，频繁再平衡可能会错过市场上涨的机会，导致投资组合的回报低于市场平均水平。
• 心理因素影响 ：投资者的心理因素也会对再平衡策略的实施产生影响。在市场上涨时，投资者可能会因为贪婪而不愿意卖出资产；在市场下跌时，投资者可能会因为恐惧而不愿意买入资产。这种心理因素会导致投资者无法按照再平衡策略进行操作，从而影响投资组合的表现。

5. 投资组合再平衡策略的应用建议

确定再平衡频率

再平衡频率是投资组合再平衡策略的一个重要参数，它决定了投资组合调整的时间间隔。常见的再平衡频率包括定期再平衡（如每月、每季度、每年）和阈值再平衡（当资产权重偏离目标权重达到一定阈值时进行再平衡）。
- 定期再平衡 ：定期再平衡是一种简单易行的方法，它可以确保投资组合在固定的时间间隔内进行调整。定期再平衡的优点是操作简单，易于执行；缺点是可能无法及时应对市场的快速变化。
- 阈值再平衡 ：阈值再平衡是一种更加灵活的方法，它可以根据市场的实际情况进行调整。阈值再平衡的优点是可以及时应对市场的变化，减少不必要的交易；缺点是需要设定合适的阈值，否则可能会导致过度交易或再平衡不及时。

考虑投资者的风险承受能力

投资者的风险承受能力是选择投资组合再平衡策略的重要依据。风险承受能力较高的投资者可以选择更加激进的再平衡策略，如增加股票资产的权重；风险承受能力较低的投资者可以选择更加保守的再平衡策略，如增加债券资产的权重。

结合市场情况进行调整

投资组合再平衡策略应该结合市场情况进行调整。在市场处于牛市时，可以适当减少再平衡的频率，以充分享受市场上涨的收益；在市场处于熊市时，可以适当增加再平衡的频率，以降低投资组合的风险。

6. 总结与展望

总结

考虑交易成本的投资组合再平衡是一个复杂而重要的问题。通过带名人堂的进化策略和权重修复策略，可以有效地解决投资组合再平衡问题，帮助投资者在控制风险的同时，实现投资组合的多元化和合理回报。投资组合再平衡策略具有风险控制、多元化增强和潜在回报提升等优势，但也面临交易成本、市场预测困难和心理因素影响等挑战。在实际应用中，投资者应该根据自身的风险承受能力、投资目标和市场情况，选择合适的再平衡策略和频率。

展望

随着金融市场的不断发展和变化，投资组合再平衡策略也需要不断创新和完善。未来的研究可以从以下几个方面展开：
- 引入更多的约束条件 ：除了交易成本和风险约束外，可以考虑引入更多的约束条件，如流动性约束、税收约束等，以更全面地考虑投资组合再平衡问题。
- 结合机器学习和人工智能技术 ：机器学习和人工智能技术可以帮助投资者更好地预测市场走势，优化投资组合再平衡策略。例如，可以使用深度学习模型对市场数据进行分析，预测资产价格的走势，从而制定更加合理的再平衡策略。
- 考虑投资者的行为因素 ：投资者的行为因素对投资组合再平衡策略的实施具有重要影响。未来的研究可以考虑投资者的行为因素，如心理偏差、情绪波动等，设计更加人性化的投资组合再平衡策略。

表格：不同再平衡频率的优缺点对比

再平衡频率	优点	缺点
定期再平衡	操作简单，易于执行	可能无法及时应对市场的快速变化
阈值再平衡	可以及时应对市场的变化，减少不必要的交易	需要设定合适的阈值，否则可能会导致过度交易或再平衡不及时

流程图：投资组合再平衡策略应用流程

graph TD
    A[确定投资者风险承受能力和投资目标] --> B[选择再平衡策略和频率]
    B --> C[构建初始投资组合]
    C --> D[定期监测投资组合]
    D --> E{是否需要再平衡}
    E -- 是 --> F[进行再平衡操作]
    F --> D
    E -- 否 --> D

通过以上的分析和讨论，我们可以看到投资组合再平衡策略在投资管理中具有重要的作用。投资者应该充分认识到再平衡策略的优势和挑战，结合自身的实际情况，选择合适的再平衡策略，以实现投资组合的长期稳定增长。