10、时间序列分析：平稳性、分解与去趋势

时间序列分析：平稳性、分解与去趋势

1. 时间序列分解

时间序列分解是将一个时间序列拆分为几个不同的组成部分。通常，有三个部分是比较重要的：
- 趋势成分（Tt） ：这是一个确定性的、非季节性的主要趋势部分。有时它被限制为线性趋势，但也会使用更高次的多项式。
- 季节性成分（St） ：这是一个具有已知周期性的确定性部分。它捕捉到在连续年份的相同周期（如月份或季度）内有规律重复的水平变化。通常被视为干扰部分，季节性调整就是去除它的过程。
- 随机成分（It） ：这是一个随机的、不可预测的部分。它不一定是重复的噪声，可能会表现出自相关性和不定长度的周期。因此，它在商业周期分析中通常是最受关注的部分。

1.1 分解的函数形式

有三种常用的函数形式来表示时间序列 $y_t$ 与其趋势、季节性和随机部分的关系：
| 分解形式 | 适用情况 | 季节性和随机成分的变化范围 |
| ---- | ---- | ---- |
| 加法分解 | 序列没有指数增长，且季节性部分的幅度随时间保持不变 | 围绕零变化 |
| 乘法分解 | 序列有指数增长，且季节性部分的幅度随序列水平增长 | 围绕 1 变化 |
| 对数加法分解 | 是乘法分解的一种替代形式，当原始序列有乘法分解时，对取对数后的序列进行加法分解。适用于时间序列包含许多小观测值的情况 | 围绕零变化 |

1.2 估计与去趋势、去季节性

可以使用滤波器（移动平均值）或参数回归模型来估计趋势和季节性部分。