24、MATLAB与Simulink中的绘图、线性代数运算及方程求解

最新推荐文章于 2025-11-22 11:04:13 发布

postgres8guard

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分类专栏： MATLAB从入门到精通文章标签： MATLAB Simulink 绘图

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MATLAB与Simulink中的绘图、线性代数运算及方程求解

绘图练习

温度分布绘图

已知数据 $T_1 = 22^{\circ}C$，$T_2 = 75^{\circ}C$，$W = L = 3 [m]$，对于函数 $w(x,y)=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{2}{p}\sin(\frac{n\pi x}{L})\frac{\sinh(\frac{n\pi y}{L})}{\sinh(\frac{n\pi W}{L})}$，使用 $x$ 和 $y$ 的间距为 0.05，生成温度分布的表面网格图和等高线图。

函数绘图练习

函数 $f(x,y)=\log_{10}(\frac{x}{y})\tan(0.5\times180)$ ：$x$ 的范围是 $-13$ 到 $13$，$y$ 的范围是 $-13$ 到 $13$，使用 meshc 和 ribbon 生成 $f(x,y)$ 的 3D 图。
函数 $H(\theta,\varphi)=\log_{10}(|\theta|)\tan(0.5\varphi)$
- 使用 3D 表面图和瀑布图函数在两个子图中绘制该函数，$\theta$ 的范围是 $-\pi$ 到 $\pi$，$\varphi$ 的范围是 $-\pi$ 到 $\pi$。
- 构建 $H(\theta,\varphi)=\log_{10}(|\theta|)\tan(a\times\varphi)$ 的 3D 动画图，其中 $\theta$ 的范围是 $-\pi$ 到 $\pi$，$\varphi$ 的范围是 $-\pi$ 到 $\pi$，$a$ 的范围是 $-1.5$ 到 $1.5$。
函数 $h_1(t)=\cos(\pi t)$，$h_2(t)=\sin(\pi t)$，$h_3(t)=\cosh(0.8t)$
- 使用 plot3 和 comet3 绘制这些函数。
- 使用 getframe 和 movie 构建这些函数的动画图。
- 使用 drawnow 构建这些函数的动画图。

线性代数基础

线性方程组概述

线性代数是数学的重要分支，处理向量、向量空间、线性空间、矩阵和线性方程组。线性代数从线性方程组开始，对于由 $m$ 个线性方程和 $n$ 个未知数组成的系统：
- 当 $m\geq n$ 时，系统可直接求解未知数。
- 当 $m < n$ 时，未知数多于线性独立方程的数量，系统为欠定系统，不能直接求解。
- 当 $m > n$ 时，线性独立方程多于未知数，系统为超定系统，可直接求解。

为简化，当 $m = n$ 时，线性方程组可表示为：
[
\begin{cases}
a_{11}x_1 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \
\cdots \
a_{n1}x_1 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n
\end{cases}
]
也可写成矩阵形式 $[A]{X} = [B]$，其中 $[A]=\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\vdots&\ddots&\vdots\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{bmatrix}$，$[B]=\begin{bmatrix}b_1\\vdots\b_n\end{bmatrix}$，${X} = {x_1,\cdots,x_n}$。求解 $X$ 可使用公式 ${X} = [A]^{-1}[B]$，其中 $[A]^{-1}$ 是矩阵 $[A]$ 的逆矩阵。

矩阵性质和运算符

矩阵有多种重要性质和运算符，如下表所示：
|性质/运算符|描述|MATLAB 命令|示例|
|----|----|----|----|
|行列式|只有方阵才能计算行列式，例如对于矩阵 $M=\begin{bmatrix}a&b&c\d&e&f\g&h&i\end{bmatrix}$，$\det(M)=aei + bfg + dhc - ceg - dbi - hfa$| det() |

>> A = [8 1 6; 3 5 7; 4 9 2];
>> det(A)
ans =
  -360

|对角线|矩阵的对角线由其对角元素组成| diag() |

>> A = [8 1 6; 3 5 7; 4 9 2];
>> diag(A)
ans =
     8
     5
     2

|转置|矩阵逆时针旋转 90 度得到转置矩阵，有 $M^{TT}=M$，$(M + B)^T = M^T + B^T$ 等性质| transpose() 或 ' |

>> A = [8 1 6; 3 5 7; 4 9 2];
>> transpose(A)
ans =
     8     3     4
     1     5     9
     6     7     2
>> A'
ans =
     8     3     4
     1     5     9
     6     7     2

|逆矩阵|$[A][A]^{-1} = [I]$，其中 $[I]$ 是单位矩阵| inv() |

>> A = [8 1 6; 3 5 7; 4 9 2];
>> inv(A)
ans =
    0.1472   -0.1444    0.0639
   -0.0611    0.0222    0.1056
   -0.0194    0.1889   -0.1028

|秩|矩阵的秩是其最大线性独立行向量的数量，也等于最大线性独立列向量的数量| rank() |

>> A = [8, 1, 6; 3, 5, 7; 4, 9, 2]; % 满秩矩阵
>> rank(A)
ans =
     3
>> M = [8 0 6; -3, 0,  7; 0  0 2]; % 秩亏矩阵
>> rank(M)
ans =
     2

Simulink 中的矩阵运算块

Simulink 中有用于计算矩阵行列式、提取矩阵对角元素和获取矩阵转置的块：
- 行列式计算块 ： [det(A) (3x3)] 位于 Simulink 的 Aerospace Blockset/Utilities/Math Operations，只能计算 3x3 矩阵的行列式。
- 对角元素提取块 ：位于 DSP System Toolbox/MATH Functions/Matrices and Linear Algebra/Matrix Operations。
- 矩阵转置块 ：位于 Simulink/Math Operations，块名为 Math Function，可选择多种数学函数，包括转置。

操作步骤如下：
1. 添加一个 Constant 块用于输入矩阵，一个 Display 块用于显示计算结果。Constant 块可从 Simulink Library 的 Simulink/Sources 或 DSP System Toolbox/Sources 获取，Display 块可从 Simulink/Sinks 或 DSP System Toolbox/Sinks 获取。
2. 矩阵元素输入方式有两种：
- 直接在 Constant 块的 Constant Value 框中输入所有元素，然后点击 Apply 和 OK 按钮。
- 在 MATLAB 的 Command Window 中定义矩阵，然后在 Constant 块的 Constant Value 框中输入变量名。
3. 完成模型后，按 Ctrl + T 或点击 Simulink 模型窗口中的 Run 按钮进行仿真。

graph LR
    A[Constant 块输入矩阵] --> B[矩阵运算块]
    B --> C[Display 块显示结果]

矩阵求逆

矩阵求逆可使用 Simulink 中的多个块，这些块位于 DSP System 和 Aerospace Blockset Toolboxes 中，包括 General Inverse (LU)、Pseudoinverse (SVD) 和 inv(A) 。操作步骤与上述矩阵运算块类似，最终计算结果与 MATLAB 的 inv() 命令计算结果在四位小数内一致。

线性方程组求解示例

考虑线性方程组：
[
\begin{cases}
2x + 3y + 5z = 1 \
-3x - 2y + 5z = 2 \
4x - 7y + 6z = 3
\end{cases}
]
可将其表示为矩阵形式 $[A]{X} = [B]$，其中 $[A]=\begin{bmatrix}2&3&5\-3&-2&5\4&-7&6\end{bmatrix}$，$[B]=\begin{bmatrix}1\2\3\end{bmatrix}$。

求解方法及 MATLAB 代码如下：
1. 使用 inv() 和乘法

>> A = [2, 3, 5; -3, -2, 5; 4, -7, 6];
>> B = [1; 2; 3];
>> Ai = inv(A);
>> XYZ1 = Ai * B;

使用反斜杠 \ 运算符

>> XYZ2 = A \ B;

使用 mldivide()

>> XYZ3 = mldivide(A, B);

使用 linsolve()

>> XYZ4 = linsolve(A, B);

使用 lsqr()

>> XYZ5 = lsqr(A, B);

使用 lu()

>> [L, U, P] = lu(A);
>> y = L \ (P * B);
>> XYZ6 = U \ y;

使用 rref()

>> MA = [A, B];
>> xyz = rref(MA);
>> XYZ7 = xyz(:, end);

使用 chol() （两种情况）

>> [U, S, V] = svd(A);
>> XYZ8 = V * inv(S) * U' * B;
>> [U, L] = chol(A);
>> XYZ9 = U \ (U' \ B);

使用 qr()

>> [Q, R] = qr(A);
>> XYZ10 = R \ Q.' * B;

使用 decomposition()

>> XYZ11 = decomposition(A) \ B;

使用 bicg()

>> XYZ12 = bicg(A, B);

使用 solve() （Symbolic Math Toolbox 函数）

>> syms x y z;
>> sol = solve(2 * x + 3 * y + 5 * z - 1, -3 * x - 2 * y + 5 * z - 2, 4 * x - 7 * y + 6 * z - 3);
>> XYZ13 = [sol.x; sol.y; sol.z];
>> XYZ13 = double([sol.x; sol.y; sol.z]);

所有计算结果在四位小数内准确，但不同方法的计算精度和时间不同，例如矩阵求逆计算不仅耗时，而且精度较低， solve() 函数是最慢且效率最低的方法。

Simulink 求解线性方程组

Simulink 中有多个用于求解线性方程组 $[A]{X} = [B]$ 的块，位于 DSP System Toolbox/Math Functions/Matrices and Linear Algebra/Linear System Solvers，包括基于 LU、SVD、QR 分解的求解器。操作步骤如下：
1. 打开一个空白 Simulink 模型，从 DSP System Toolbox 库中拖放求解块。
2. 添加两个 Constant 块分别输入 $[A]$ 和 $[B]$，一个 Display 块显示结果。
3. 矩阵元素输入方式与上述相同。
4. 完成模型后，按 Ctrl + T 或点击 Run 按钮进行仿真，计算结果与 MATLAB 求解结果在四位小数内一致。若要显示更多小数位，可调整 Display 块的 Format Type 为 long_e 。

graph LR
    A[Constant 块输入 [A]] --> D[线性方程组求解块]
    B[Constant 块输入 [B]] --> D
    D --> C[Display 块显示结果]

通过这些 MATLAB 和 Simulink 的方法，我们可以方便地进行绘图、矩阵运算和线性方程组求解。不同方法各有优缺点，在实际应用中可根据具体需求选择合适的方法。

总结与应用建议

不同方法对比总结

方法	计算精度	计算时间	适用场景
矩阵求逆（ `inv()` ）	较低	较长	对精度要求不高且矩阵规模较小的情况
反斜杠 `\` 运算符	较高	较短	大多数线性方程组求解场景，尤其是方阵情况
`mldivide()` 、 `linsolve()`	较高	较短	与反斜杠运算符类似，可作为替代
`lsqr()`	较高	适中	超定系统或大规模稀疏矩阵求解
`lu()`	较高	适中	基于高斯消元法，适合一般线性方程组
`rref()`	较高	适中	需要求解方程组的行最简形式时
`chol()`	较高	适中	矩阵为 Hermitian 正定矩阵时
`qr()`	较高	适中	需要正交三角分解时
`decomposition()`	较高	适中	自动选择分解方法，适合不确定分解方式的情况
`bicg()` 等梯度方法	较高	适中	大规模稀疏矩阵求解
`solve()` （Symbolic Math Toolbox 函数）	较低	长	需要符号解或对精度要求不高且计算速度不是关键因素的情况

应用建议

绘图方面
- 对于温度分布等复杂函数的绘图，可先使用简单的绘图函数进行初步观察，再根据需要选择更高级的绘图函数，如 meshc 、 ribbon 等进行 3D 可视化。
- 在绘制动画图时，可根据实际需求选择 getframe 和 movie 或 drawnow 方法，前者适合制作复杂的动画，后者更适合实时更新的动画。
矩阵运算方面
- 在计算矩阵行列式、对角线和转置时，优先使用 MATLAB 命令，因为其操作简单且计算速度快。若需要在 Simulink 中进行建模，则可使用相应的 Simulink 块。
- 求矩阵逆时，要谨慎使用，因为计算成本高且精度可能较低。可根据矩阵的性质和规模选择合适的方法，如对于大规模稀疏矩阵，可考虑使用 lsqr() 等方法。
线性方程组求解方面
- 对于一般的线性方程组，优先使用反斜杠 \ 运算符、 mldivide() 或 linsolve() ，因为它们计算速度快且精度较高。
- 对于特殊类型的矩阵，如 Hermitian 正定矩阵，可使用 chol() 方法。对于大规模稀疏矩阵，可考虑使用 lsqr() 或梯度方法。

未来拓展

深入学习矩阵分解 ：矩阵分解在许多领域都有重要应用，如信号处理、机器学习等。可进一步学习 LU 分解、QR 分解、奇异值分解（SVD）等方法的原理和应用。
结合其他工具 ：可将 MATLAB 和 Simulink 与其他工具，如 Python、TensorFlow 等结合使用，以实现更复杂的功能。例如，使用 Python 进行数据预处理，然后将处理后的数据导入 MATLAB 进行分析和建模。
实际项目应用 ：通过参与实际项目，将所学的知识应用到实际问题中，提高解决问题的能力。例如，在控制系统设计、图像处理等领域中应用线性代数和绘图技术。

流程图总结

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    A([开始]):::startend --> B{问题类型}:::process
    B -->|绘图问题| C(选择绘图函数):::process
    C --> D(输入数据并绘图):::process
    D --> E(根据需要调整绘图):::process
    B -->|矩阵运算问题| F(判断运算类型):::process
    F -->|行列式、对角线、转置| G(使用 MATLAB 命令或 Simulink 块):::process
    F -->|求逆| H(根据矩阵性质选择方法):::process
    B -->|线性方程组求解问题| I(判断矩阵类型和规模):::process
    I -->|一般方阵| J(使用反斜杠 `\` 等方法):::process
    I -->|特殊矩阵| K(选择合适的分解方法):::process
    I -->|大规模稀疏矩阵| L(使用 `lsqr()` 或梯度方法):::process
    E --> M([结束]):::startend
    G --> M
    H --> M
    J --> M
    K --> M
    L --> M

通过以上的总结和建议，希望读者能够更好地掌握 MATLAB 和 Simulink 中的绘图、矩阵运算和线性方程组求解方法，并在实际应用中灵活运用。在学习过程中，要不断实践和探索，深入理解各种方法的原理和适用场景，以提高解决实际问题的能力。