54、图灵机活动与自动柯尔莫哥洛夫复杂度研究

图灵机活动与自动柯尔莫哥洛夫复杂度研究

1. 图灵机活动分析

1.1 图灵机构造与活动证明

在图灵机的研究中，我们考虑具有 (n) 个状态和 (m) 个符号的图灵机。如果图灵机 (M) 在这些图灵机中不具有最大活动，我们可以直接选择一个具有最大活动的图灵机 (M’)，此时不需要增加磁带字母表。

若 (M) 具有最大活动，对于 (M) 的每个符号 (a)，我们在 (M’) 的转移表中添加新符号 (a_L) 和 (a_R)。当 (M) 在旧符号上进行转移并写入 (a) 时，如果磁头向左移动，(M’) 会将其修改为写入 (a_R)（表示 (a_R) 在磁头右侧）；如果磁头向右移动，则写入 (a_L)。对于新符号 (a_R) 和 (a_L)，(M’) 会将新符号替换为 (a)，并且如果符号是 (a_L) 则向右“反弹”，如果是 (a_R) 则向左“反弹”。

我们定义一个同态 (h)，对于 (M) 的每个符号 (a)，有 (h(a) = h(a_L) = h(a_R) = a)。可以证明，对于 (M) 在第 (k) 步的每个瞬时描述，其中磁带铭文为 (w) 且磁头位于单元格 (i)，存在 (M’) 在第 (k’\geq k) 步的一个瞬时描述，其磁带铭文 (w’) 满足 (h(w’) = w)，且磁头也位于单元格 (i)。由此可以得出，(M’) 停机当且仅当 (M) 停机，并且 (activity(M’) \geq activity(M))。

为了证明 (activity(M’) > activity(M))，我们利用 (M) 在具有 (n) 个状态和 (m) 个符号的图灵机中具有最大活动这一假设。根据引理 2 和 3，(M’) 至少要进行