53、忙碌海狸得分与字母表大小研究

忙碌海狸得分与字母表大小研究

1. 引言

忙碌海狸游戏最初由Rado定义，旨在确定给定状态数的确定性图灵机在字母表 {0, 1}（0 为空白符号）上，在初始空白的双向无限磁带上所能产生的最大 1 的数量。在每一步中，机器读取一个磁带符号，根据当前状态写入一个符号，将磁头向左或向右移动一个方格，并进入一个新状态。存在一个单一的停机状态（传统上不计算在内），在向该状态转移时，机器也会写入一个符号。

Rado引入了函数 Σ(n) 表示具有 n 个状态的机器产生的最大 1 的数量，函数 S(n) 表示这些机器执行的最大步骤数（移动次数）。他证明了这些函数是不可计算的，并且增长速度比任何可计算函数都快。

这些函数在元数学方面也很有意义，例如像哥德巴赫猜想这样的开放问题，如果对于足够大的 n，S(n) 是可计算的，那么通过运行图灵机来确定反例，这些问题就可以得到解决。

现在我们将忙碌海狸游戏推广到具有多于两个符号的字母表。用 Σ(n, m) 表示具有 n 个状态和 m 个符号的任何停机确定性图灵机在初始空白的双向无限磁带上产生的最大非空白符号数量（称为生产率），用 S(n, m) 表示执行的最大步骤数（称为活动度）。因此，Rado 定义的函数现在是 m = 2 的特殊情况。对于特定的图灵机 M，用 productivity(M) 和 activity(M) 表示这两个度量。

参与广义忙碌海狸竞赛的图灵机 M 可以用以下形式的表格表示：
|输入符号|0|1|…|m - 1|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|当前状态 1|w01δ01s01|w11δ11s11|…|wm - 11δm