50、区间图和置换图上的子集反馈顶点集问题

区间图和置换图上的子集反馈顶点集问题

在图论中，子集反馈顶点集（Subset Feedback Vertex Set，SFVS）问题是一个重要的研究课题。本文将探讨如何在区间图和置换图上解决SFVS问题。

区间图上的SFVS问题

首先，我们来分析区间图上的SFVS问题。通过一系列的证明和推导，得出了一个重要的结论：子集反馈顶点集问题可以在区间图上以 $O(n^3)$ 的时间复杂度解决。下面是具体的证明过程：
- 情况一：${i, y} \notin E$ ：当 ${i, y}$ 不是图 $G$ 中的边时，有 $r(i), \ell(x) < \ell(y) < r(x)$，这意味着在 $G[V_i \cup {x, y}]$ 中，$y$ 的邻域只有 ${x}$。因此，$V_i \cup {x, y}$ 中包含 $y$ 的任何子集都不会诱导出 $G$ 的 $S$-循环。根据定义，$C_{x,y}^i = B_x^i$。
- 情况二：${i, y} \in E$ ：当 ${i, y}$ 是图 $G$ 中的边时，有 $\ell(x) < \ell(y) < r(i) < r(x), r(y)$，此时 $\langle i, x, y\rangle$ 是 $G$ 的一个诱导三角形。如果 $i \notin C_{x,y}^i$，根据观察1 (1)，我们有 $C_{x,y}^i = C_{x,y}^{<i}$。假设 $i \in C_{x,y}^i$，若 $i \in S$，则 $\langle i, x, y\rangle$ 是 $G$ 的一个诱导 $S$-三角形，这与 $i