47、稀疏图中固定大小循环枚举与可靠消息传输研究

稀疏图中固定大小循环枚举与可靠消息传输研究

1. 稀疏图中固定大小循环枚举

在图论中，对于 k - 退化图的研究有着重要意义。我们可以通过构建特定的图结构来研究其中 p 长度简单循环的数量。

图的构建与性质
- 当图为 k - 退化图时，每个顶点的度数至少为 k，因此该图不可能是 (k - 1) - 退化的。
- 图的边的端点分别位于集合 Ki 和 Lj 中。将每条边指向其位于某个 K 集合中的顶点，可得到一个出度有界为 k 的无环定向。
- 该图有 (n = \frac{p}{2}k^2 + \frac{p}{2}l) 个顶点，由此可推出 (l = \frac{2n}{p} - k^2)。简单 p 长度循环的总数为 (l^{\frac{p}{2}} k^{2\frac{p}{2}} = (\frac{2n}{p} - k^2)^{\frac{p}{2}} k^{2\frac{p}{2}})。当 (n \geq kp) 时，((\frac{2n}{p} - k^2)^{\frac{p}{2}} k^{2\frac{p}{2}} = \Omega(n^{\frac{p}{2}}k^{\frac{p}{2}}))。

不同奇偶情况分析
- p 为偶数且 k 为奇数 ：构建方式类似，只是集合 Ki 在 i 为奇数时包含 (\lfloor\frac{k}{2}\rfloor) 个顶点，否则包含 (\lceil\frac{k}{2}\rceil) 个顶点。若 (\frac{p}{2}) 为偶数，证明与 p 和 k 均为偶数的情况相同；若 (