46、稀疏图中固定大小循环的列举算法

稀疏图中固定大小循环的列举算法

在图论领域，列举稀疏图中所有固定大小的循环是一个重要的问题。本文将介绍相关的定义、引理以及算法，详细分析算法的正确性和时间复杂度。

基本定义与引理

• 定义 6 ：设 $G = (V, E)$ 是一个无环有向 $k$ - 退化图，且通过每个顶点的邻接表来表示。顶点 $x \in V$ 的排序退化邻接表是其邻接表中删除所有指向 $x$ 的顶点后，再进行排序得到的。
• 引理 1 ：$n$ 阶 $k$ - 退化图 $G$ 的排序退化邻接表可以在 $O(nk \log k)$ 时间内计算得到，使用这些修改后的列表进行邻接查询可以在 $O(\log k)$ 时间内完成。
  • 证明步骤 ：
    1. 对于顶点 $x \in V$，设其度数为 $d_x$，出度为 $d_x^+$。在 $O(d_x)$ 时间内从其邻接表中删除所有指向它的顶点。
    2. 由于考虑的 $k$ - 退化图是出度至多为 $k$ 的无环有向图，所以对剩余顶点进行排序的时间为 $O(d_x^+ \log d_x^+) = O(k \log k)$。
    3. 对图的所有顶点重复此过程，总时间为 $O(nk \log k + m) = O(nk \log k)$。

以下是关于路径、$t$ - 路径和循环的一些引理，这些引理用于证明后续算法的正确性和时间复杂度。
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