45、有理关系子类的决策问题与稀疏图中固定长度简单循环的枚举

有理关系子类的决策问题与稀疏图中固定长度简单循环的枚举

在计算机科学的图论和自动机理论领域，存在着诸多关于关系决策和图循环枚举的重要问题。本文将深入探讨有理关系子类的决策问题以及稀疏图中固定长度简单循环的枚举算法。

有理关系子类的决策问题

在自动机理论中，对于有理关系子类的决策问题是一个核心研究方向。下面我们将介绍几个重要的定理及其证明思路。

• 定理 2 ：设 $E \subseteq \Sigma^{\omega} \times \Sigma^{\omega}$ 是一个 $\omega$-自动等价关系，$A^{#}$ 是定义 $E^{#}$ 的（非确定性）同步转换器。那么，判断 $E$ 是否具有有限指数可以在单指数时间内完成。

  • 证明思路 ：给定 $E^{#}$，只需检查引理 4 的条件。通过引理 5 对 $L^{#}(E) = \bigcup_{(i,j) \in I} L_i{#}L_j$ 的因子 $L_i$ 和 $L_j$ 进行细长度检查来实现。给定 $A^{#}$，可以计算一个具有初始状态 $q_0$ 和接受状态 $F$ 的同步转换器 $B$，用于定义 $E^{#}$ 的代表集 $L^{#}(E)$。$B$ 会诱导出 $L^{#}(E)$ 的所需分解，每个转换 $(p, #, q)$ 会产生两个因子 $L_{q_0}{p}$ 和 $L_{qF}$。由于 $B$ 的大小是 $A^{#}$ 的指数级，且根据引理 6，该过程的时间复杂度为指数级。

• 定理 3