37、热带组合零点定理与稀疏多项式测试

热带组合零点定理与稀疏多项式测试

在数学的研究中，热带代数几何领域有着独特的魅力，其中热带组合零点定理以及相关的稀疏多项式测试问题是重要的研究方向。下面我们将深入探讨热带半环、热带组合零点定理、热带版Schwartz - Zippel引理以及热带通用测试集等内容。

1. 预备知识

• 热带半环 ：热带半环是由集合 (K) 定义的，(K) 可以是实数集 (\mathbb{R}) 或有理数集 (\mathbb{Q})，并赋予两个运算：热带加法 (\oplus) 和热带乘法 (\odot)，定义如下：
  • (x \oplus y = \max{x, y})
  • (x \odot y = x + y)
• 热带单项式 ：在变量 (\vec{x} = (x_1, \ldots, x_n)) 中的热带单项式定义为 (m(\vec{x}) = c \odot x_1^{\odot i_1} \odot \cdots \odot x_n^{\odot i_n})，其中 (c) 是半环 (K) 中的元素，(i_1, \ldots, i_n) 是非负整数。用通常的符号表示，单项式是线性函数 (m(\vec{x}) = c + i_1x_1 + \cdots + i_nx_n)。
• 热带多项式 ：热带多项式是热带单项式的热带和，即 (p(\vec{x}) = \bigoplus_i m_i(\vec{x}))，用通常的符号表示为 (p(\vec{x}) = \max_i m_i(