35、下推自动机的帕里克映像

下推自动机的帕里克映像

1. 引言

在形式语言理论中，下推自动机（PDA）和上下文无关文法（CFG）是描述上下文无关语言的重要工具。此前有研究探讨了在一般情况下 PDA 和 CFG 表示上下文无关语言的简洁性问题。本文聚焦于一元字母表的特殊情况，重新审视了这些问题。

我们定义了一个无限的上下文无关语言族，与以往的研究不同。对于每个 $n \geq 1$ 和 $k \geq 1$，该族中的每个成员由一个具有 $n$ 个状态、$p = k + 2n + 4$ 个栈符号和单个输入符号的 PDA 给出。我们证明了对于该族中的每个 PDA，每个等价的上下文无关文法都需要 $\Omega(n^2(p - 2n - 4))$ 个变量，这表明即使在一元字母表的情况下，将 PDA 转换为语言等价的上下文无关文法的教科书算法也是最优的。

由于在一元字母表中，单词的相等性与帕里克等价性（两个单词的每个符号出现次数相同则为帕里克等价）一致，因此该转换算法对于帕里克等价性也是最优的。此外，我们还研究了一元确定性 PDA 的特殊情况，给出了一种将一元确定性 PDA 转换为等价上下文无关文法的新构造，达到了已知的最佳界限。

帕里克定理表明，每个上下文无关语言都与某个正则语言具有相同的帕里克映像，这使得我们可以比较 PDA 和有限状态自动机（FSA）在帕里克等价语言方面的性能。我们使用同一族 PDA 得出了每个帕里克等价 FSA 状态数的下界，并证明了将 PDA 转换为语言等价的上下文无关文法，再将上下文无关文法转换为帕里克等价的 FSA 的两步过程在所得 FSA 的状态数方面产生最优结果。

2. 预备知识

• 下推自动