34、低冲突路由的复杂性研究

低冲突路由的复杂性研究

1. Path - RCA问题

Path - RCA问题在无向平面图和有向平面图上具有重要的研究价值。相关定理表明：
- 定理内容 ：Path - RCA在无向平面图和有向平面图上都是NP完全问题，即使$k \geq 0$为常数或者$\Delta \geq 4$为常数时也是如此。
- 证明思路 ：该定理的证明是通过从Planar Cubic Hamiltonian Cycle (PCHC)问题进行归约得到的。PCHC问题的输入是一个无向、平面、立方图$G$，问题是判断$G$中是否存在一个经过每个顶点恰好一次的循环。归约过程中得到的Path - RCA实例包含一个图$G’$，它由原始图$G$连接到终端$s$和$t$组成，其中$t$的度数为1。我们需要构造$n - 1$条连接终端的路径，这里$n$是PCHC输入图的顶点数。具体构造过程如下：
1. 设$G = (V, E)$是一个无向、平面、立方图，$n = |V|$。
2. 初始时，$G’$为空图。
3. 向$G’$中添加$G$的一个副本，记为$H$。
4. 向$G’$中添加新顶点$s$、$t$、$v$、$w$。
5. 用边连接$s$和$v$，$w$和$t$。
6. 对于每个$m \in {4, 5, \ldots, n + 1}$，添加一条连接$s$和$w$的$m$链。
7. 考虑$G$的一个固定平面嵌入$\varphi(G)$，设$x_1$是$\varphi(G)$中与外表面相邻的一个顶点，$x_1$有两个相邻顶点$x_2$和$x_3$也与外表面相邻。
8. 向$G’$中