32、可判定加权表达式与Presburger组合器的深度解析

可判定加权表达式与Presburger组合器的深度解析

1. 可判定性问题的初步探讨

在处理加权表达式的可判定性问题时，我们可以借助计数器机器来进行分析。假设有一个计数器机器 (M)，在读取单词 (u) 后，其计数器估值会对元组 ((A_1(u), \ldots, A_n(u))) 进行编码。接着，将 (M) 与另一个计数器机器 (M_{\varphi}) 组合，这个 (M_{\varphi}) 会在读取空单词 (\epsilon) 时，计算 (\varphi((A_1(u), \ldots, A_n(u))) 的值，并将其存储在一个额外的计数器中。最终，组合机器 (M \cdot M_{\varphi}) 接受输入的条件是这个值为正，所以我们只需检查其是否为空即可。

为了实现这一目标，我们将 (M \cdot M_{\varphi}) 定义为反转有界的，即其计数器从递增模式转变为递减模式的次数是固定的。反转有界计数器机器的空问题是可判定的。虽然 (M_{\varphi}) 可以在多项式时间内构建，但 (M) 通常具有指数级的规模。不过，我们可以利用一个小见证性质来设计一个多项式空间算法，而无需显式地构建 (M)。同时，通过 (n) 个确定性有限自动机（DFA）交集的空问题，我们可以证明空问题的多项式空间难性。

2. 迭代和表达式的定义与性质

2.1 迭代和表达式的定义

给定一个定量语言 (f : \Sigma^* \to \mathbb{Z})，其迭代和（也称为无歧义Kleene星）(f^{\circledast}) 定义如下：(f^{\circledast}(\epsilon) = 0)，对于所有 (u \in \Sigma^+