31、算术电路与可判定加权表达式研究

算术电路与可判定加权表达式研究

1. 算术电路相关理论

1.1 齐次电路多项式类包含关系

在算术电路中，存在关于齐次 $\Sigma ∧[\sqrt{n}] \Sigma$ 电路的多项式类包含关系。具体而言，规模为 $2^{O(\sqrt{n})}$ 的 $\Sigma ∧[\sqrt{n}]\Sigma[2\sqrt{n}/1000]∧[\sqrt{n}]\Sigma$ 所计算的多项式类严格包含于规模为 $2^{O(\sqrt{n})}$ 的 $\Sigma∧[\sqrt{n}]\Sigma[2\sqrt{n}]∧[\sqrt{n}]\Sigma$ 所计算的多项式类。

1.2 移位偏导数维度研究

1.2.1 投影幂导数维度的上界

设 $f = p_d(\ell_1, \ldots, \ell_t)$，其中 $\ell_1, \ldots, \ell_t$ 是线性形式。对于任意 $k > 0$，有 $\dim\left(F - Span\left[\partial^{\leq k}_{ML}f^{\alpha}\right]\right) \leq (k + 1)(dk)^r$，这里 $r$ 是 ${\ell_1, \ldots, \ell_t}$ 张成空间的维数。

证明过程如下：不妨假设 $\ell_1, \ldots, \ell_r$ 是 $\ell_1, \ldots, \ell_t$ 张成空间的一组基（$r \leq t$）。可以观察到 $\partial^{\leq k} {ML}f^{\alpha} \subseteq F - Span\left{f^{\alpha - i} \c