30、关于 Σ ∧Σ ∧Σ 电路：中间 Σ 扇入、同质性和底部度数的作用

关于 Σ ∧Σ ∧Σ 电路：中间 Σ 扇入、同质性和底部度数的作用

1. 引言

算术电路由 Valiant 引入，作为代数计算的自然模型。他猜想永久多项式 permn 没有多项式规模的算术电路。此后，研究者们为解决 Valiant 假设付出了大量努力。在代数复杂性理论中，为计算显式多项式的算术电路获取超多项式规模下界是一个关键问题。然而，对于一般的算术电路类，目前已知的最佳下界仅略高于线性。

由于在一般算术电路下界研究上进展缓慢，研究者开始探索受限电路类。Grigoriev 和 Karpinski 证明了在固定大小的有限域上，计算永久多项式的深度为三的电路存在指数规模下界，但将这些结果扩展到无限域或深度为四的算术电路仍很困难。Agrawal 和 Vinay 指出，证明深度为四的算术电路的指数下界足以解决 Valiant 假设，Gupta 等人进一步将其强化到无限域上的深度为三的电路。

Gupta 等人还为深度为四的同质电路计算 permn 获得了 $2^{\Omega(\sqrt{n})}$ 规模下界，Fournier 等人则为深度为四的同质电路计算 VP 中的多项式获得了超多项式下界。大多数算术电路的下界证明遵循一个共同框架：定义多项式的子加性和/或子乘性度量，证明目标电路类的度量较小，以及证明目标多项式的度量较高。

除了基于复杂度度量的框架，还有两种解决 Valiant 假设的突出方法：Mulmuley 和 Sohoni 的几何方法，以及 Shub 和 Smale 提出的基于实 τ 猜想的方法。

2. 电路模型

本文考虑深度为五的幂运算电路，即 Σ ∧Σ ∧Σ 电路。其中，‘Σ’ 和 ‘∧’ 分别表示计算输入之和