27、地图图上的一阶模型检查

地图图上的一阶模型检查

1. 地图图的定义与性质

地图图是一种特殊的图结构，在很多领域都有重要应用。对于图 (G = (V, E))，若存在集合 (D_v \subseteq R^2)（每个 (v \in V) 对应一个），满足以下三个条件，那么 (G) 就是地图图：
- 每个 (D_v) 与闭圆盘同胚（即与 ({(x, y) \in R^2 | x^2 + y^2 \leq 1}) 同胚）。
- 当 (v \neq w) 时，(D_v) 和 (D_w) 仅在它们的边界相交。
- (D_v \cap D_w \neq \varnothing) 当且仅当 (vw \in E)。

此外，存在一个平面二分图 (H = (V \cup P, F))，它以 (G) 的顶点作为其二分划分的一侧，并且 (uv \in E) 当且仅当存在 (p \in P) 使得 (up, vp \in F)，同时 (|P| \leq 4|V|)。这样的图 (H) 被称为 (G) 的见证图。

地图图中的团（clique）分为以下几种类型：
- 披萨型（pizza） ：存在 (p \in P)，使得对于所有 (v \in C)，都有 (pv \in F)。
- 带皮披萨型（pizza - with - crust） ：存在 (v \in C) 和 (p \in P)，使得 (pv \notin F)，但对于所有 (w \in C \setminus {v})，都有 (pw \in F)。
- 哈曼塔什型（hamantasch） ：存在 (p,