26、图嵌入与模型检查问题研究

图嵌入与模型检查问题研究

在图论和算法领域，图嵌入和模型检查是两个重要的研究方向。图嵌入主要关注如何将一个图嵌入到另一个图中，而模型检查则侧重于验证逻辑公式在图结构上的满足性。下面将详细介绍这两个方面的相关问题及研究成果。

图嵌入问题

• 树的S - 嵌入判定
  • 对于树 (T) 到有向图 (D) 的 (S) - 嵌入问题，通过构建多项式 (Q(X, z)) 及其辅助多项式 (Q_{u,w}^+(X))、(Q_{u,w}^-(X)) 来进行判定。这些多项式可以用一个规模为输入有向图 (D) 的阶 (n) 的多项式大小的单调算术电路表示。
  • 具体操作步骤如下：
    1. 为对应 (D) 的顶点的变量和辅助变量 (z) 设置 (n + 1) 个输入门。
    2. 为每个上述多项式关联一个表示它的门，总共 (O(tn)) 个门。
    3. 假设加法门的扇入无界，对于涉及大乘积的每个递归式，需要 (O(n)) 个辅助门。最终得到的电路规模为 (O(n^3))。
  • 根据相关事实和引理，能够在 (O^*(2^{|S|})) 时间内判定 (t) 顶点树 (T) 到 (D) 的 (S) - 嵌入是否存在。由于 (|S| \leq t)，根据 (S) - 嵌入的定义可得到相应定理。
• 有向森林的嵌入
  • 上述树嵌入的方法可以扩展到有向森林 (T=(V, A, F, B))