19、图论与神经网络的计算复杂性研究

图论与神经网络的计算复杂性研究

1. 图的VC维与Token Jumping重配置问题

在图论领域，VC维是一个重要的概念。对于超图 (H = (V, E))，如果对于集合 (X) 的每个子集 (Y)，都存在超边 (e) 使得 (e \cap X = Y)，则称集合 (X) 被打散。超图的VC维就是被打散集合的最大规模。对于图 (G = (V, E))，其闭邻域超图以顶点集 (V) 为顶点，当且仅当 (X = N[v])（(N[v]) 表示顶点 (v) 的闭邻域）时，(X) 是超边，图的VC维就是其闭邻域超图的VC维。

VC维与完全二分子图存在关联，不含 (K_{\ell,\ell}) 的图的VC维至多为 (O(\ell))。Token Jumping（TJ）重配置问题在一般图中是W[1]-困难的，但在不含 (K_{\ell,\ell}) 的图中是固定参数可解（FPT）的。那么，这个结果能否推广到有界VC维的图上呢？实际上，即使在VC维为3的图上，TJ重配置问题也是W[1]-困难的。

下面是一些相关的重要结论：
- TJ重配置问题与独立集问题的关系 ：如果 (C) 是一个在不相交并运算下封闭的、VC维至多为 (d) 的图类，那么在VC维至多为 (d) 的图上的TJ重配置问题至少和 (C) 上的独立集问题一样难。例如，独立集问题在VC维至多为3的图上是W[1]-困难的，因为单位圆盘图的VC维至多为3，且独立集问题在单位圆盘图上是W[1]-困难的。
- 不同VC维图上的问题复杂度 ：
- 对于VC维为2的图，TJ重配置问题是NP-困难的，因为独立集问题在围长至少为5的图上是NP-