17、布尔函数与图论中的关键问题研究

布尔函数与图论中的关键问题研究

布尔函数的强对偶性与极小化

在布尔函数的研究中，纯霍恩函数（Pure Horn Function）有着重要的地位。我们先来看一些关于纯霍恩函数的基础引理。

给定一个表示函数 (h) 的合取范式（CNF）(\varPhi)，其命题变量的一个子集 (S)，以及变量 (y \notin S)，根据引理 1，(y \in F_{\varPhi}(S)) 当且仅当 (S \to y) 是 (h) 的一个蕴含式。这表明通过前向链（Forward Chaining）从 (S) 可达的变量集合仅取决于底层函数，而非特定的 CNF 表示。因此，当我们不想提及特定的 CNF 时，会使用 (F_{h}(S)) 来代替 (F_{\varPhi}(S))。

从引理 1 还能得到推论 1：如果 (h) 是纯霍恩函数且 (\varPhi \subseteq P(h))，那么 (\varPhi) 表示 (h) 当且仅当对于所有子集 (S \subseteq V)，有 (F_{h}(S) = F_{\varPhi}(S))。

此外，前向链算子实际上是一个闭包算子。引理 2 指出，对于纯霍恩函数 (h) 和其命题变量的子集 (S)，(F_{h}(S) = S) 当且仅当 (S) 的特征向量 (\chi_{S}) 是 (h) 的一个真值点。而且，前向链过程可以在 (\varPhi) 大小的线性时间内执行，这意味着两个纯霍恩 CNF 的等价性也能在多项式时间内测试。

接下来，我们引入本质蕴含式集（Essential Sets of Implicates）的概念。对于变量的子集 (S \subseteq V)，我们关联一个蕴含式的子集 (E_{S}