16、纯霍恩最小化中的强对偶性解析

纯霍恩最小化中的强对偶性解析

1. 引言

布尔函数在数学和计算机科学的众多领域中自然出现，是复杂性理论的关键概念。布尔最小化问题旨在为给定的布尔函数找到最短的可能表示。该问题的正式表述取决于输入函数的表示方式、输出的表示方式以及输出大小的测量方式。

常见的布尔函数表示形式是合取范式（CNF），测量 CNF 大小通常有两种方式：子句数量和文字总数（子句长度之和）。当输入和输出都是 CNF 时，布尔最小化问题是 NP 难的，甚至可能比 CNF 可满足性问题（SAT）更难，SAT 是 NP 完全问题，而布尔最小化问题是 Σp² - 完全问题。

由于上述难解性，研究布尔最小化问题的子类是合理的，其中霍恩函数类是一个广泛研究的例子。CNF 是霍恩的，如果其中每个子句最多包含一个正文字；如果每个子句恰好包含一个正文字，则是纯霍恩的。纯霍恩函数在不同领域有不同的名称，如在图论和组合学中表现为有向超图，在人工智能和数据库理论中表现为蕴含系统，在代数和概念格分析中表现为格和闭包系统。

在有向超图的背景下，引入了五种不同的测量方式和相应的最小化概念：
- (SM) 源最小超图（没有等价的超图具有更少的源集）
- (HM) 超弧最小超图（没有等价的超图具有更少的超弧）
- (SHM) 源 - 超弧最小超图（没有等价的超图具有更少的超弧加源集）
- (SAM) 源区域最小超图（没有等价的超图具有更小的源区域，即源集大小之和）
- (O) 最优超图（没有等价的超图具有更小的大小，即源区域加超弧数量）

除了 (SM) 外，其他五种测量方式下找到最短表示都是 NP 难的。目前已有的解决 (SM) 的多项式时间算法使用了类