16、量子计算中的门矩阵操作解析

量子计算中的门矩阵操作解析

1. 量子比特的理想状态与门矩阵基础

在量子计算里，n 个量子比特的理想状态遵循特定模式，最终会有 2ⁿ 种状态。随着程序中量子比特数量 n 的增加，理想状态的数量呈指数级增长，甚至难以全部记录下来。不过，巨型量子比特能够同时处理所有这些状态。相比之下，经典计算机处理这些状态就很困难，而量子计算机仅需 n 个量子比特就能完成操作。

1.1 单量子比特门矩阵

单量子比特量子门可根据其对量子小单元（qubelets）的影响进行分类。我们主要关注一个 2×2 的矩阵：

[
a  b
c  d
]

其中，a、b、c、d 是复数，它们的复共轭分别为 a 、b 、c 、d 。例如，若 a = 0.5 + i 0.5，那么 a = 0.5 - i 0.5。用欧拉公式在极坐标下表示，如 a = (1/√2)e^(iπ/4)，a = (1/√2)e^(-iπ/4)。

这个矩阵编码了任何量子状态（包括混合状态）在对应门作用下的变化情况。我们通过关注矩阵对理想状态 |0⟩ 和 |1⟩ 的影响，来确定门对量子小单元的作用：
- 当矩阵对应的门作用于 |0⟩ 时，会将量子小单元置于由第一列定义的量子状态，即 |0⟩ ↦ a|0⟩ + b|1⟩ = (a, b)。
- 当门作用于 |1⟩ 量子小单元时，会将其置于由第二列定义的量子状态，即 |1⟩ ↦ c|0⟩ + d|1⟩ = (c, d)。

1.2 门对量子小单元的基本操作