29、初始物质和产物浓度预测：反应速率常数的近似求解

初始物质和产物浓度预测：反应速率常数的近似求解

在化学研究中，准确预测初始物质和产物的浓度对于理解反应过程和控制反应条件至关重要。本文将探讨如何通过一系列方法来解决相关问题，包括有限差分法、三次样条法和Tikhonov正则化方法，以找到反应的近似速率常数。

问题概述

问题1的解决使我们能够确定物质A、B、C、D在任何时刻的浓度。而任务2则是任务1的逆问题，其精确解记为 $\mathbf{K}^0 = (k_1^0, k_2^0, k_3^0, k_4^0, k_5^0)^T$。在实际中，我们将寻找 $\mathbf{K}^0$ 的近似解，为此会使用有限差分法、三次样条法和Tikhonov正则化方法。

逆问题的求解

• 有限差分法构建代数方程组 ：应用有限差分法，从相关公式可得到关于 $k_1, k_2, k_3, k_4, k_5$ 的代数方程组。设步长 $h$ 为一个非常小的正数，方程组（20.5）包含五个未知数。将 $t = t_1, t = t_2$ 代入（20.5），得到一个包含八个代数方程的系统，从中选择任意五个方程，可得到如下方程组（20.6）：
  • $\begin{cases}y_3(t_1)k_1 + y_4(t_1)k_4 + y_2(t_1)k_5 = \frac{y_1(t_1 + h) - y_1(t_1 - h) - 2o(h^3)}{2h}\y_3(t_1)k_1 + y_4(t_1)k_4 - y_2(t_1)k_5 = \frac{y_2(t_1 + h) - y_2(t_1 - h) - 2o(h^3)}{2h}\ - y_3(t_1)k_1 -