3、无环上下文超边替换与图重写组件

无环上下文超边替换与图重写组件

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在图结构研究中，涉及到一种特殊的图结构 $H_{mn}$。对于所有 $i \in [m - 1]$，存在从 $u_i$ 到 $u_{i + 1}$ 以及从 $u’ i$ 到 $u’ {i + 1}$ 的边，同时对于 $1 \leq i < j \leq n$，存在从 $v_i$ 到 $v_j$ 的边。这样一来，$H_{mn}$ 由上下两条各含 $m$ 个节点的链以及中间一个含 $n$ 个节点的完全图构成（假设边是向下的）。

接下来考虑图对 $G_{mn} \in L(\hat{\Gamma})$ 和 $H_{mn} \in L(\Gamma)$，其中 $G_{mn}$ 通过连接态射 $\mu$ 收缩为 $H_{mn}$。首先，我们固定 $m$，使其大于将观察 2 应用于 $\hat{\Gamma}$ 时得到的常数 $s$。此时，$G_{mn}$ 中满足 $\dot{\mu}(u) \in {u_1, \ldots, u_m, u’ 1, \ldots, u’_m}$ 的节点 $u$ 最多有 $2(m - 1) + 2(n - 1)$ 个。这是因为 $H {mn}$ 中与这些节点相关的边总共只有 $2(m - 1) + 2(n - 1)$ 条，且每个这样的节点至少有一条关联边。由于 $m$ 已固定，这个数量与 $n$ 呈线性关系。然而，$H_{mn}$（也就是 $G_{mn}$）的边总数与 $n$ 呈二次方增长。根据观察 1，我们可以选择足够大的 $n$，确保 $G_{mn}$ 中至少有一个节点 $z \in \dot{G} {mn} \setminus \dot{H}