13、排队论中的多服务器队列与有限请求队列分析

排队论中的多服务器队列与有限请求队列分析

1. 多服务器队列之双服务器队列精确分析

在排队论中，双服务器队列是一个重要的研究对象。我们可以使用Erlang B和C函数来重新审视双服务器队列。对于$m = 2$的情况，Poisson比率为：
$R(2, \rho) = \frac{1 + 2\rho}{1 + 2\rho + 2\rho^2}$
对应的Erlang B函数为：
$B(2, \rho) = \frac{2\rho^2}{1 + 2\rho + 2\rho^2}$
Erlang C函数为：
$C(2, \rho) = \frac{2\rho^2}{1 + \rho}$
这里需要注意的是，$C(2, \rho)$和之前定义的伪服务器函数$\varphi(\rho)$的分母有等价关系，但分子不同。$C(2, \rho)$是一个概率函数，其取值范围是$0 \leq C(2, \rho) \leq 1$，而$\varphi(\rho)$是$\rho$的递减函数，取值范围是$1 \leq \varphi(\rho) \leq \frac{1}{2}$。

双服务器的等待时间可以用Erlang C函数表示：
$W = \frac{C(2, \rho)S}{2(1 - \rho)} = \left(\frac{\rho^2}{1 - \rho^2}\right)S$
根据停留时间的定义，可得：
$R = W + S = \frac{S}{1 - \rho^2}$
平均队列长度由Little宏观定律给出：
$Q = \lambda R = \frac{2\rho}{1 - \rho^2}$