Codeforces 38H The Great Marathon [dp]_codeforces the great marathon-优快云博客

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本文介绍了一种通过动态规划和容斥原理解决特定竞赛计数问题的方法。在给定的条件下，通过枚举和计算来找出所有可能的比赛结果组合。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description:
$n$ 个人跑马拉松，起点固定重点随意，必须走最短路。按时间为第一关键字编号为第二关键字排名，分金银铜牌。金牌数量在 $[g1,g2]$ 之间，银牌数在 $[s1,s2]$ 之间。问有多少种方案。

Solution:
考虑枚举金牌线和铜牌线，金牌线肯定出在每个人最快的路线，铜牌线出在最慢的路线。然后 $dp[i][j][k]$ 表示考虑第 $i$ 个人,有 $j$ 个金牌,个银牌的方案数，转移即可。然而这样会有大量不合法方案，因为可能没有人压线，那么考虑容斥，计算金牌线至多是多少和铜牌线至少是多少的方案，用容斥计算即可。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 55;
int n, m, g1, g2, s1, s2;
ll ans;
int mn[N], mx[N], d[N][N], s[N], g[N], b[N];
ll dp[N][N][N];
ll solve(int gl, int bl, int su, int sd) {
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        g[i] = s[i] = b[i] = 0; 
        for(int j = 1; j <= n; ++j) {
            if(i != j) {
                if(d[i][j] <= gl) {
                    g[i] = 1;
                }
                if(d[i][j] >= bl) {
                    b[i] = 1;
                }
                if(d[i][j] > su && d[i][j] < sd) {
                    s[i] = 1;
                }
            }
        }
    } 
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    dp[0][0][0] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        for(int j = 0; j <= i; ++j) {
            for(int k = 0; k + j <= i; ++k) {
                if(g[i] && j) {
                    dp[i][j][k] += dp[i - 1][j - 1][k];
                }
                if(s[i] && k) {
                    dp[i][j][k] += dp[i - 1][j][k - 1];
                }
                if(b[i] && j + k < i) {
                    dp[i][j][k] += dp[i - 1][j][k];
                }
            }
        }
    }
    ll ret = 0;
    for(int i = g1; i <= g2; ++i) {
        for(int j = s1; j <= s2; ++j) {
            ret += dp[n][i][j];
        }
    }
    return ret;
}
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    memset(d, 0x3f3f, sizeof(d));
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        d[i][i] = 0;
    }
    for(int i = 1; i <= m; ++i) {
        int u, v, w;
        scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
        d[u][v] = d[v][u] = w;
    } 
    for(int k = 1; k <= n; ++k) {
        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
            for(int j = 1; j <= n; ++j) {
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
            }
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        for(int j = 1; j <= n; ++j) {
            if(d[i][j] < 0x3f3f3f3f) {
                d[i][j] = d[i][j] * n + i;
            }
        }
    }
    scanf("%d%d%d%d", &g1, &g2, &s1, &s2);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        mx[i] = -0x3f3f3f3f;
        mn[i] = 0x3f3f3f3f;
        for(int j = 1; j <= n; ++j) {
            if(i != j) {
                mn[i] = min(mn[i], d[i][j]);
                mx[i] = max(mx[i], d[i][j]);
            }
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        for(int j = 1; j <= n; ++j) {
            ans += solve(mn[i], mx[j], mn[i], mx[j]) - solve(mn[i] - 1, mx[j], mn[i], mx[j]) - solve(mn[i], mx[j] + 1, mn[i], mx[j]) + solve(mn[i] - 1, mx[j] + 1, mn[i], mx[j]);
        }
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}